Дифференциальные уравнения. Линейное дифференциальное уравнение первого и второго порядка. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах, страница 2

Уравнение имеет вид: у¢¢ + ру¢ + qy = 0

Алгоритм решения

Для уравнения у¢¢ + ру¢ + qy = 0 составляют характеристическое уравнение l²+pl+q=0.

Пусть l₁ и l₂  - корни характеристического уравнения тогда возможны три варианта:

1⁰. l₁ ¹ l₂ , l₁, l₂ÎR, тогда общее решение уравнения    y=, где С₁, и С₂ - постоянные.

2⁰. l₁ =  l₂ ,   l₁ÎR,  тогда общее решение   y=

3⁰. l₁ = a + ib,  l₂ = a - ib,  l₁, l₂Î C, b ¹ 0, тогда об­щее решение   y= Пример 7.   Найти общее решение уравнения у" - 5у + 6у = 0 .

Характеристическое уравнение l² - 5l + 6 = 0  имеет корни l₁ = 2,   l₂ = 3,

поэтому (1⁰)общее решение у = С₁е^2x + C₂e^3x .

Пример 8.  Найти общее решение уравнения у" - 4у¢ + 4у = 0 .

Характеристическое уравнение l² - 4l + 4 = 0  имеет корни l₁ =  l₂ = 2,

поэтому (2⁰)общее решение у = (С₁ + C₂ х)e^2x .

Пример 9. Найти решение задачи Коши

у¢¢ + 4y = 0,   y(0) = 1,     y'(0) = 4 .

Характеристическое уравнение   l² +4 = 0   имеет корни l₁ = +2i , l₂= -2i,

поэтому (3⁰)общее решение  у = С₁cos 2x + С₂ sin 2x .

Используем начальные условия:   у(0) = С₁ × 1 + С₂ × 0 = 1    получаем    С₁ = 1 .

y'(0) = (-2С₁ sin 2x + 2С₂ cos 2x)|_x=0 = 2С₁ × 0 + 2С₂ × 1 = 4   =>   С2 = 2 .

Таким образом, искомое решение задачи Коши имеет вид: у = cos 2x + 2 sin 2x .

Однородное уравнение  Эйлера

Уравнение имеет вид: х²у¢¢ + рху¢ + qy = 0

Алгоритм решения

Подстановкой y= x^kполучаем аналог характеристического уравнения k×(k - 1) + pk + q = 0

Пусть l₁ и l₂  - корни характеристического уравнения тогда возможны три варианта:

1⁰. l₁ ¹ l₂ , l₁, l₂ÎR, тогда общее решение уравнения    y=, где С₁, и С₂ - постоянные.

2⁰. l₁ =  l₂ ,   l₁ÎR,  тогда общее решение   y=

3⁰. l₁ = a + ib,  l₂ = a - ib,  l₁, l₂Î C, b ¹ 0, тогда об­щее решение   y=

Неоднородное уравнение

Алгоритм решения

            Уравнение имеет вид  у¢¢ + ру¢ + qy = f(x)          

Общее решение неоднородного уравнения y(x)= y_одн(х) + у*(х) является суммой:

· общего решения   y_одн(х),    соответствующего однородного уравнения у¢¢ + ру¢ + qy = 0, и ·частного решения  у*(х)  неоднородного уравнения   у¢¢ + ру¢ + qy = f(x).    

Частное решение уравнения  (в простейших случаях) ищут методом неопределенных коэффициентов в виде, определяемом видом функции f(x) и корнями l₁, l₂   характеристического уравнения l²+pl+q=0.     

1°. Пусть f(x) = Р_п(х) - многочлен степени  п.

·a  Если  l₁ ¹ 0,   l₂ ¹ 0 , то у* (х) ищут в виде Q_n(x), где Qn(x) - многочлен степени п

·b  Если  l₁ ¹ 0,   l₂ = 0, то  y*(x) ищут в виде x×Qn(x).

·c   Если l₁ = l₂ = 0, то  y* (x) ищут в виде x²×Qn(x).

2°. Пусть f(x) = ae^ax,   a,a Î R -постоянные.

·a  Если  l₁ ¹a ,   l₂ ¹ a,   то у * (х) ищут в виде А × е^ax .

·b  Если  l₁ = a ,   l₂ ¹a ,  то у * (х) ищут в виде А × х × е^ax .

·c  Если  l₁ = l₂ = a ,        то у * (х) ищут в виде А × х² ×е^ax .

3°. Пусть f(x) = acosbx + b sinbx,   a, b, bÎR - постоянные.

·a  Если  l₁ ¹ ib , l2 ¹ ib , то у*(х) ищут  в  виде   Acosbx + Bsinbх ,   где А и В постоянные.

·b  Если  l₁₌ ± ib , то  у*(х) ищут в виде   x(Acosbx + Bsinbx).

Пример 10.   Найти общее решение уравнения   у" - 5у' = 7 – 10x.

1.Ищем общее решение y_одн (x) соответствующего однородного уравнения у" - 5у' = 0 .

l² - 5l = 0   Þl₁ = 0   l₂ = 5 ,   y_одн (x)=C₁ + C₂e^5x

2. Ищем частное решение неоднородного уравнения в виде (1°_b)  x·Q₁(x) ,  где   Q₁(x)   - многочлен  первой степени с  неопределенными коэффициентами,  у*(х) = х(Ах + В) = Ах² + Вх.

Найдем первую и вторую производные: (у^*(x))¢ = 2Ax +B,  (у^*(x))¢¢ = 2A

и подставим  в исходное уравнение:  2A –10Ax –5B=7 –10x 

Сравнивая коэффициенты, получаем систему:

Таким образом,  частное решение  у*(х) = х² - х  

3. Общее решение уравнения у = С₁ + С₂е^5x + х² - х .

Пример 11. Найти решение задачи Коши    у¢¢- 4у¢ + 3у = 2е^x,   y(0) = 1,   у'(0) = 2

1.Ищем общее решение y_одн (x) соответствующего однородного уравнения у¢¢- 4у¢ + 3у = 0

l² - 4l + 3= 0,  l₁ = 1, l₂ = 3Þ  y_одн (x)=C₁e^x + C₂e^3x

            2. Ищем частное решение неоднородного уравнения в виде (2°_b)  у*(х) = Ахe^ax = Ахe^x.

Найдем первую и вторую производные:

(у^*(x))¢ = Ae^x +Axe^x =Ae^x(x+1), 

(у^*(x))¢¢ = Ae^x(x+1)+ Ae^x = Ae^x(x+2)

и подставим  в исходное уравнение:  Ae^x(x+2) - 4Ae^x(x+1)+ 3Axe^x =2e^x  Þ   -2A=2,  A= -1.

Таким образом, частное решение  у*(х) = -хe^x.

3. Общее решение уравнения    y =C₁e^x + C₂e^3x - хe^x.

4. Для нахождения С₁ и С₂, используем заданные начальные условия:

            y(0)=1=C₁+C₂

            y¢(0)= 2= C₁e^x+3C₂e^3x - e^x - xe^x = C₁+3C₂-1

Получаем систему:

Следовательно, решением задачи Коши является функция у = е3^x – хе^x

Уравнения высших порядков

Функция  y=j(x,C₁,C₂,…,C_n) называется общим решением дифференциального уравнения  F(x,y,y¢,…,y⁽ⁿ⁾)=0   n-го порядка, существенно зависящая от n произвольных постоянных и обращающая уравнение n-го порядка в тождество при любомх значениях этих постоянных.

Частными решениями, называются решения, получаемые из общего решения при закреплении постоянных C₁,C₂,…,C_n ,.

Пример 12. Найти решение диффренциального уравнения  , у которого

, , .

Интегрируя, найдем , , С₁=6

 

   и .

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

            Уравнение в полных дифференциалах имеет вид    P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, левая часть которого есть полный дифференциал.

            Для решения этого  уравнения надо найти первообразную F(x,y) левой части уравнения. Тогда равенство F(x,y)=C будет общим интегралом нашего дифференциального уравнения.

Пример 12. Найти общий интеграл уравнения (3x²y+y²)dx+(x³+2xy+10y)dy=0

            Здесь P=3x²y+y², Q=x³+2xy+10y, значит ,  ,

Первообразная имеет вид F(x,y) = ò(3x²y + y²)dx = x³y + xy²+ j(y), где j(y) находится из условия F¢_y(x,y) = Q Þ x³+2xy+j(y)¢ = x³+2xy+10y, отсюда j(y)¢ = 10y и j(y)=5y²+C.

Так как нас интересует какая- нибудь одна первообразная, то положив С=0, получим:

F(x,y) = x³y + xy²+5y², поэтому общий интеграл есть x³y + xy²+5y² = С.

Приближенное решение дифференциального уравнения

Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 

Разностные методы решения дифференциальных уравне­ний - это способы вычисления значений искомого решения у (х) на некоторой сетке значений аргумента.

Разностные методы позволяют находить только конкретное (частное) решение, например решение задачи Коши. Эти мето­ды являются основными при решении дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ.

Метод Эйлера (метод ломаных)

Этот метод дает хорошее приближение к решению только для достаточно малых h_n.

Пусть требуется решить задачу Коши для уравнения первого порядка y¢ =f(x,y), y(x₀)=y₀          I

На данном отрезке выбирают некоторую сетку значений агумента х₀, x₁, .... x_n, для которых вычисляют значения функции у по схеме: y_n+1 =  y_n + h_n f(x_n, у_n), h = х_n+1 - х_n,   где n = 0, 1, ..., n-1.  
Модификации этого метода определяются следующими формулами:           

y_n+1 =  y_n + h_n  f