Расчет плоской рамы методом сил (внешние нагрузки: Р = 10 кН, q = 32 кН/м, длины стержней - 2,5 м)

Страницы работы

21 страница (Word-файл)

Фрагмент текста работы

Расчет плоской рамы методом сил

Исходные данные: расчетная схема рамы приведена на рисунке 1. Внешние нагрузки: Р = 10 кН,  q = 32 кН/м; длины стержней  l = 2,5 м, угол α = 220; жесткость EJ = 107 Н ∙ м2.

Рисунок 1

1.Вычисление степени статической неопределимости.Схема опирания плоской рамы изображена на рисунке2. Степень ее статической неопределимости вычислим по формуле:

s = 3К – Ш = 3 ∙ 1 – 1 = 2.

Здесь К – число замкнутых контуров, Ш – количество простых шарниров. Так как s = 2, то система два раза статически неопределима.

Рисунок 2

2.Выбор основной системы.

Основная система (о.с.) метода сил – это статически определимая система, полученная из заданной путем отбрасывания лишних связей.

Для того, чтобы основная и заданная системы были эквивалентными, к основной системе, кроме внешней нагрузки, прикладывают дополнительные усилия, представляющие собой реакции отброшенных связей.

Приведем три варианта основной системы (рисунок 3, а, б, в). Поясним каждый из них. В I-м случае отбрасываем шарнирно-неподвижную опору. Получаем ломаный брус, заделанный левым концом, к которому дополнительно  приложены  две  неизвестные  сосредоточенные  силы X1, X2. Во II-м случае жесткую заделку заменяем стержнем. При этом к системе прикладываем неизвестные силу X1 и момент X2. Вариант III получаем, заменяя заделку шарнирно-неподвижной опорой и вводя простой шарнир в верхнее сечение наклонного элемента рамы. В качестве неизвестных прикладываем сосредоточенный момент X1, а также два равных и противоположно направленных момента X2. (Усилие X2 имеет смысл внутреннего изгибающего момента, т. е. при составлении уравнений равновесия всей системы его суммарный момент будет равен нулю).

Рисунок 3

Для расчета выбираем третий вариант о.с., так как эпюры изгибающих моментов для него получатся наиболее простыми. Следовательно, при их перемножении количество подсчетов будет наименьшим.

Проводим кинематический анализ принятой основной системы. Число степеней свободы определяем по формуле Чебышева:

W = 3Д – 2Ш – Соп,

где Д – количество дисков, Ш – количество шарниров, Соп – число опорных стержней. Для рассматриваемой рамы, представленной в виде дисков D1 и D2  (рисунок 4),  Д = 2, Ш = 1, Соп = 4,  следовательно, W = 3 ∙ 2 – 2 ∙ 1 – 4 = 0. То есть, система статически определима.

Рисунок 4

Анализируем геометрическую структуру конструкции. Она представляет собой диск D1, присоединенный к земле с помощью шарнира и стержня (диска D2), причем ось стержня не проходит через шарнир. Значит, выбранная основная система метода сил геометрически неизменяема.

3.Составление системы канонических уравнений.

Рама два раза статически неопределима, следовательно, канонические уравнения представляют собой систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

                                         (1)

Здесь  X1, X2 – неизвестные усилия;  δ11, δ22 – главные единичные перемещения; δ12, δ21 – побочные единичные перемещения, в соответствии с теоремой Максвелла δ12 = δ21;   Δ1p, Δ2p – грузовые перемещения по направлениям усилий X1, X2 от внешней нагрузки.

Для определения перемещений δ11, δ12, δ21, δ22, Δ1p, Δ2p по формуле Мора необходимо построить единичные и грузовую эпюры изгибающих моментов.

4.Построение единичных и грузовой эпюр изгибающих моментов

Построение единичной эпюры .

Эпюру  строим в основной системе от воздействия единичного усилия .  В опорных шарнирах  А и В    возникают  четыре  составляющие  опорных реакций ZA, YA, ZB, YB  (рисунок 5, а).Нет необходимости вычислять их все. Определим только те, которые нужны для расчета ординат эпюры .Мысленно проведем горизонтальное сечение по шарниру С и составим уравнение равновесия верхней части:,

отсюда  .В каждой из характерных точек 1, …, 6  вычислим значение ординат эпюры  (k – номер точки).   При  этом  подсчитаем   только  абсолютные значения моментов и укажем, какие волокна они растягивают. (растянуты левые волокна); ;. По полученным ординатам строим эпюру  (рисунок 5, б). Следует заметить, что эпюра безразмерная, так как она построена от воздействия единичного изгибающего момента .

Рисунок 5

Построение единичной эпюры .Эпюру  строим аналогично эпюре , только от воздействия единичного усилия  (рисунок 6,а). Определим необходимые составляющие опорных реакций.Мысленно разрежем раму горизонтальным сечением по шарниру С и рассмотрим равновесие нижней части. В ней будет действовать один из моментов  (нижний). Составим уравнение статики , отсюда  .В каждой из точек 1, …, 6 вычислим значение изгибающего момента  (k – номер точки). ;  (растянуты правые волокна); . Для определения момента  проведем сечение в 5-й точке и рассмотрим равновесие нижней части. Получим:  (растянуты верхние волокна).По вычисленным ординатам строим эпюру  (рисунок 6,б). Она также безразмерная.

Рисунок 6

Построение грузовой эпюры Мр.

Эпюру Мр строим в основной системе от внешней нагрузки. Покажем в опорных шарнирах  А и В составляющие опорных реакций: ZA, YA, ZB, YB  (рисунок 7, а). Для расчета ординат эпюры Мр достаточно определить только YВ.

Мысленно проведем горизонтальное сечение по шарниру С и составим уравнение равновесия верхней части:,

отсюда   кН.

В  каждой  из  характерных  точек 1, …, 6  вычислим значение изгибающего момента Мр(k) (k – номер точки).Мр(1) = Мр(4) = Мр(6) = 0;

Мр(2) = -YВl + ql2/2 = – 30 ∙ 2,5 + 32 ∙ 2,52/2 =25 кН ∙ м (растянуты верхние волокна);

Мр(3) = Рl = 102,5 = 25 кН ∙ м (растянуты верхние волокна);

Мр(5) ==.

Откладываем полученные ординаты на эпюре Мр (рисунок 7, б). В пределах участка 1–2 эпюра ограничена параболой, направленной выпуклостью вниз. Максимум не определяем, так как он не понадобится в дальнейших расчетах. На участках 3–4 и 5–6 эпюра прямолинейна.

Дополнительно вычислим значение момента Мр(7) в точке 7 (посередине участка 1–2),  так как  оно  понадобится  при перемножении эпюр.

Мр(7) = YВl/2 – q(l/2)2/2 = 30 ∙ 2,5/2 – 32 ∙ (2,5/2)2/2 = 12,5 кН ∙ м

(растянуты нижние волокна).

Рисунок 7

5.Вычисление единичных и грузовых перемещений.

Для определения перемещений, являющихся коэффициентами канонических уравнений, используем формулу Мора. При этом влиянием продольных и поперечных сил пренебрегаем и считаем, что перемещения обусловлены только действием изгибающих моментов. Используем следующие формулы:

, , ,

, .

Так как все три стержня рамы прямолинейны и их жесткость постоянна, перемещения вычислим способом перемножения эпюр Верещагина.

Чтобы определить единичное перемещение δ11, необходимо эпюру

Похожие материалы

Информация о работе