Расчет статического поля

   Допустим, в области Д рассчитано статическое поле по известным значениям на границе, при условии, что заряды внутри Д отсутствуют.

В этом случае, в любой точке области Д поле Е удовлетворяет равенство:

Е – потенциально, значит существует такой скаляр , для которого

- теорема Тельмгольда.

С учетом этого предыдущее равенство получит вид:

-оператор Гомельтена.

-оператор Лапласа.

В результате для потенциала  получается уравнение Лапласа или:

Для решения этого уравнения зададим граничные (краевые) условия.

На разных участках границы должны быть известны либо потенциал , либо напряженность Е. Согласно условию задаем напряженность, точнее

-производная по направлению внешней нормали.

Т.о., должны быть использованы следующие краевые условия:

1) у=c, а≤х≤b, ;

2) у=d, а≤х≤b, ;

3) x=a, c≤y≤d, ;

4) x=b, c≤y≤d, ;

Решение этой задачи примет вид двойного степенного ряда:

Вычислим необходимые производные от этой суммы:

Во второй производной суммирование должно начинаться с i=2. Вместо i введем новый параметр: p=i-2, i=p+2.

;

Аналогично для :

Сделаем переобозначение степеней:

; ;

В результате получим:

Равенство должно быть верным при любых значениях х и у. Это обеспечивается обращением в ноль коэффициентов перед  в каждом из слагаемых. В результате получаем систему уравнений для вычисления коэффициентов:

или:

Т.о. должны выполняться краевые условия:

Эта производная задается при х=а и х=b, где:

Для сопоставления этих выражений в производную сначала надо подставить х=а, а потом х=b, затем функцию в ряд по степеням у.

В результате получим равенство:

 -коэффициент.                                                                                                               

 отсюда следует бесконечная с-ма

Аналогичные системы составляются для других сторон прямоугольника.

В результате для неизвестных  получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений.

Для решения этой системы необходимо перейти от двойной нумерации неизвестных к одинарным ,т.е. вместо бесконечной матрицы ,получаем матицу-вектор . Для этого нужно делать однозначный переход .

   Например, следующим способом: 

При решении системы всегда будут ограничения  на число неизвестных , т.е. на размеры матрицы

Пусть  i =1,2; j=1,2, тогда A= i +2 ( j – 1);    

N=3 : A=i+3(j-1);

A=i+N(j-1)

В результате перенумерации  система приводится к следующему виду: =, где А- бесконечная квадратная матрица  коэффициентов. 

 - векторы бесконечного пространства.

Доказывается, что решение существует и единственно, если все эти величины ограничены по норме, в качестве которой принимается: