Электромагнитные колебания в простом колебательном контуре

Цель работы. Исследование зависимостей периода колебаний от индуктивности и ёмкости. Изучение зависимости добротности контура от активного сопротивления.

Общие сведения.

Электрический колебательный контур состоит из ёмкости С, индуктивности L и активного сопротивления R (рис.1). Когда переключатель К поставлен в положение 1, батарея Е сообщает конденсатору некоторый заряд q. При перебрасывании переключателя в положение 2 конденсатор начинает разряжаться через катушку, в цепи возникает Э.Д.С. самоиндукции, под действием которой  конденсатор разряжается не мгновенно и после разрядки его до нуля ток в контуре не прекращается, а продолжает протекать в прежнем направлении в течение некоторого времени, вследствие чего на обкладках конденсатора появляется заряд, противоположный начальному по знаку. Таким образом, конденсатор оказывается перезаряженным, и в контуре вновь протекает процесс его разрядки, но в обратном направлении. Такие периодические изменения зарядов, напряжений и токов в контуре носят название электромагнитных колебаний. При этом происходит непрерывный переход энергии электрического поля в конденсаторе в энергию магнитного поля в катушке и обратно. В некоторый момент времени полная энергия колебаний:

 ,

где U и i - мгновенные значения разности потенциалов и тока. В те моменты времени, когда конденсатор полностью разряжен (U=0), ток достигает максимального значения I_m,  и полная энергия контура равна энергии магнитного поля:

Полная энергия колебаний постепенно уменьшается, так как электрическая энергия благодаря сопротивлению R непрерывно превращается  в тепловую и рассеивается в окружающее пространство.

Составим дифференциальное уравнение колебаний в контуре. Пусть q - мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора и U - разность потенциалов между обкладками  в тот же момент времени. Тогда полное напряжение в цепи  равно сумме  действующих ЭДС. Так как в цепи  действует только ЭДС самоиндукции:

,

.

Подставив в это равенство значения ,  получим:

,                                             (1)

Разделим обе части уравнения (1) на L и введём обозначения:

,                                                           (2)

                                                        (3)

где величина a называется коэффициентом затухания; w₀ – собственная частота колебаний контура. Тогда дифференциальное уравнение колебаний примет вид: