Завдання до міжвузівської математичної олімпіади

ІІ. Завдання до міжвузівської математичної олімпіади

№1. Знайдіть всі розв’язки у цілих числах рівняння

Розв’язання.

Після піднесення обох частин рівняння до квадрату і перенесення в праву частину, ми переконуємося в тому, що корінь, який залишається в лівій частині, дорівнює у²–х, тобто представляє собою ціле число. Повторюючи це міркування, ми врешті-решт переконаємося в тому, що   і повинні бути цілими числами, звідки x=k² ,  тобто . Остання рівність неможлива при , оскільки k²  менше k(k+1), а (k+1)² вже більше k(k+1) і тому , тобто не може бути цілим. Відповідь. Єдине рішення рівняння в цілих числах - х = 0; у=0.

№2. Дано n    додатніх чисел    таких, що .

Доведіть, що

Розв’язання. Маємо:  

Отже,

Оскільки

, то

.

№3. Знайдіть всі функції f(x), що задовольняють рівнянню

для будь-яких дійсних  х і у. Доведіть, що тільки дві з них неперервні.

Розв’язання. Нехай в даному рівнянні  у=х, тоді

, звідки при х≠0 , отже, або , або .

Нехай  при х=а≠0, тоді з даного рівняння одержуємо  для всіх у, тобто .

Нехай  при х=а≠0, тоді з даного рівняння одержуємо , звідки  при у≠0, а при у=0  - будь-яке число.

Отже, всі рішення даного функціонального рівняння наступне:

1) .

2) Кожна функція вигляду

Серед цих рішень тільки функції  і є неперервними.

№4. Встановити, чи існує многочлен Р(x), для якого при будь-якому дійсному x одночасно виконуються нерівності:       і    .

Розв’язання. Якщо Р(х) – константа, то , і нерівність 1) не виконана. Нехай , тоді якщо n непарне, то  – непарне число, звідки

хоча б в одній точці , якщо ж n парне, то  - непарне число, звідки  хоча б в одній точці . Таким чином, для будь-якого многочлена Р(х) не виконана або нерівність 2), або нерівність 1).

Твердження доведено.

№5. Нехай кількість людей збільшується щорічно на 1 / 100 свою частину. Через скільки років число людей збільшиться у 10 разів?

Розв’язання. Припустимо, що це наступить через х років, причому число людей спочатку дорівнювало n; таким чином, черех х років воно буде дорівнювати , а оскільки воно повинно дорівнювати 10n, то

;

тому

і

Таким чином, маємо

 приблизно.

Отже, через 231 рік число людей, якщо щорічне прирощення складає тільки 1/100 частину, збільшиться у 10 разів.