Нахождение действительных корней нелинейных и трансцендентных уравнений. Численное решение дифференциального уравнения, страница 3

if f(a)*f2(a)>0 then

begin

xn:=b;

repeat

x:=xn;

xn:=x-f(x)*(x-a)/(f(x)-f(a));

until abs(xn-x)<eps;

end

else

begin

xn:=a;

repeat

x:=xn;

xn:=x-f(x)*(b-x)/(f(b)-f(x));

until abs(x-xn)<eps;

end;

y:=f(x);

writeln('x=',x,'y=',y);

readkey;

end.

1.6.Результаты решения

В результате вычислений методом хорд корней функции y=e^x-2x²+1.5 нами были определены действительные корни х=-9.69358637Е-0.001 и у=1.39080591Е-0.005 нелинейного алгебраического и трансцендентного уравнения с точностью до 0.0001 в интервале [–1;0].

1.7.Погрешность найденного решения

Погрешность  определения  корня вычисляется по формуле:

, где М  и  м  - соответственно  наибольшее  и  наименьшее  значение  модуля  производной  функции  на  исходном  интервале.

F(x)= e^x - 2x² + 1.5=0

F(1)= - 0.132;                             F(0)= 0.5.

р

2.Численное  решение  дифференциального  уравнения

Уравнения, содержащие  производную  функции  одной переменной. возникают  во  многих  областях  науки  и  техники. Любая  ситуация, где  рассматривается  изменения  одной  переменной  по отношению  к  другой, списывается  дифференциальным  уравнением.  Будем  рассматривать  дифференциальные  уравнения  вида  

 с начальными условиями .   (2.1)

Под  решением  дифференциального  уравнения  с  начальными  условиями     (задача  Коши )  будем  понимать  определение такой  функции  у( х), которая  удовлетворяет  одновременно   исходному  уравнению   и  заданным  начальным  условиям.

Надо  отметить , что  на  практике  получить  решения  дифференциального  уравнения  в аналитическом  виде  удается   далеко  не  всегда. Поэтому большое  распространение  получили  численные  методы  решения   с  использованием ЭВМ.

Обыкновенными  дифференциальными  уравнениями   называются  такие  уравнения , которые  содержат  одну  или  несколько  производных  от  искомой  функции  у  =  у(х). Их  можно  записать  в  виде 

F(х, у, у´, ...,у⁽ⁿ⁾ ) = 0,                                    (2.2)

где   х -  независимая  переменная.

В  ряде  случаев  из  общей  записи   дифференциального  уравнения   (2.2)  удается  выразить  старшую  производную  в  явном  виде. Например,

y' =  f (x, у),                                      (2.3)

y´  =  f (x,у,у´ ).

Такая  форма  записи  называется  уравнением, разрешенным  относительно  старшей  производной.

  Линейным  дифференциальным  уравнением  называется  уравнение, линейное  относительно  искомой  функции и  ее  производных. Например , у´ – х² у =  sin  x  -  линейное  уравнение  первого  порядка.

Решением   дифференциального  уравнения  (2.2) называется  всякая  функция  у  = φ(х),  которая  после  ее подстановки  в  уравнение превращает  его  в  тождество.

 Общее  решение  обыкновенного  дифференциального  уравнения  (7.1.)   n-го  порядка  содержит  n  произвольных  постоянных С₁ ,  С₂,  ..., С_n , т.е.  общее  решение  уравнения (2.2)  имеет  вид  у  =φ  (х, С₁, С₂, ..., С_n ) .                            (2.4)

 Частное  решение  дифференциального  уравнения  получается  из  общего, если  произвольным  постоянным  придать  определенные  значения.

Численные  методы    решения  дифференциальных  уравнений  в  настоящее  время  являются  основным  инструментом  при  исследовании  научно-технических  задач,  описываемых  дифференциальными  уравнениями. При  этом  необходимо  подчеркнуть, что  данные  методы  особенно  эффективны  в сочетании  с  использованием  быстродействующих  ЭВМ,  обладающих  достаточно  большим  объемом  оперативной  памяти.

2.1.Метод решения(метод Рунге-Кутта)

Наиболее  распространенными  из  одношаговых  методов    является  метод   Рунге  -  Кутта.   На  его  основе  могут   быть  построены   разностные  схемы   разного  порядка  точности. Этот  метод  применяется  настолько  широко  , что  его  называют  методом  Рунге – Кутта   без  всяких  указаний  на  тип или  порядок  и  описывается  системой  из  следующих  пяти  соотношений: