Понятие кусочно-гладкой пространственной кривой. Определение криволинейного интеграла по длине дуги (=1-го рода) и его вычисление. Понятие ориентированной кусочно-гладкой пространственной кривой. Определение криволинейного интеграла по координатам, механический смысл и основные свойства. Вычисление криволинейных интегралов по координатам, страница 3

Если на поверхности  π распределена масса с непрерывной плотностью γ (x,y,z), то значение m количества всей массы, распределенной на π  .

33. Вычисление поверхностных интегралов 1-го рода.

Пусть дана π в пространстве Oxyz и на π определена непрерывная или кусочно-непрерывная функция  f(x,y,z).

Предположим, что f(x,y,z) задается уравнением  z=φ(x,y) в области . Функцию z=φ(x,y)  будем полагать непрерывной в области D. Разобьем поверхность π произвольно на n частей π₁,π₂,…,π_n. Это разбиение поверхности  π порождает соответствующее разбиение D на части  D₁,…, D_n, где . На каждой части  D_k возьмем произвольно точку . Положим z_k=φ(x_k,y_k) и пусть точка M_k(x_k,y_k,z_k). Пусть .

 (1), где ΔS_k - площадь части π_k.

Известно, что .

Пусть  - площадь D_k, тогда по формуле среднего значения для двойных интегралов  (2).

Будем считать, что точки  P_k(x_k,y_k) взяты в соответствии с теоремой о среднем значении для записанного двойного интеграла по области  D_k : Z_k=φ(x_k,y_k).

Подставляя (2) в (1), получим  (3). Равенство (1) говорит о том, что σ интегральная сумма для функции f(x,y,z) по поверхности π, а (3) говорит о том, что σ интегральная сумма для функции  в области D. Т. е. переходя к пределу при  λ→0 получим формулу:

34. Понятие односторонней и двусторонней гладкой поверхности. Ориентация ограниченной двусторонней, гладкой поверхности и ее границы. Ориентация двусторонней кусочно-гладкой поверхности.

Пусть в пространстве Oxyz задана гладкая поверхность π. Возьмем произвольную точку M₀Єπ и проведём через нее произвольный простой замкнутый контур ГÌπ. Выберем одно из двух возможных направлений нормали к поверхности π в точке M₀. Обозначим его . Будем перебирать точки контура Г в порядке их следования, взяв за начало точку M₀, при этом каждой точке M за направление нормали  берём то направление в которое переходит направление нормали в точке  M₀, если направление нормали меняется непрерывным образом. Обойдя контур Г мы вернёмся в первоначальную точку M₀ либо с тем же направлением нормали, которое было выбрано для точки M₀, либо с противоположным ему.

Если направление нормали к поверхности π в точке M₀ сохранится какой бы простой замкнутый контур ГÌπ и проходящей через точку M₀ мы не взяли, то поверхность π называется двусторонней, в противном случае поверхность π называется односторонней. Примером двусторонних поверхностей является плоскость, сфера и любая поверхность, задаваемая уравнением z=φ(x,y), где φ(x,y) непрерывная функция. Примером односторонней поверхности является лист Мёбиуса.

Опр.: Совокупность всех точек М поверхности π вместе с выбранным направлением нормали  двусторонней поверхности π называется щёткой нормалей или стороной поверхности π.

Выбор определенной стороны поверхности π называется ориентацией этой поверхности. С понятием стороны поверхности тесно связано понятие ориентации замкнутой линии, являющейся границей поверхности.

Положительным направлением замкнутого контура Г, являющегося границей ориентированной поверхности π, считается то, по которому должен двигаться наблюдатель, шагая по поверхности π вдоль контура Г, чтобы оставлять поверхность π слева от себя. Противоположное направление - отрицательное.

35. Интегральные суммы для функции трех переменных по выбранной стороне кусочно-гладкой поверхности. Определение поверхностного интеграла 2-го рода.