Принцип усиления и возбуждения колебаний в параметрическом контуре

В одном мгновенье – видеть вечность,

Огромный мир – в зерне песка,

В единой горсти – бесконечность

И небо – в чашечке цветка.

У. Блейк

 глава13

ПРИНЦИП УСИЛЕНИЯ И ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ

13.1.  Изучаемые вопросы

Энергетические соотношения в цепи с параметрическими реактивными элементами. Вносимые сопротивления в режимах синхронной и асинхронной накачки. Физические процессы при параметрическом усилении колебаний. Параметрические усилители, их достоинства и области применения [1, 10.5¼10.7; 2, 12.2, 12.3; 21, 4.1¼4.4].

Параметрическое возбуждение колебаний, дифференциальное уравнение контура с параметрической реактивностью. Результаты решения уравнения Матье, физические процессы при возбуждении параметрического контура. Стационарный режим генерации, нелинейные явления (механизмы) ограничения амплитуды. Мягкий и жесткий режимы самовозбуждения. Параметрические генераторы [1, 10.8; 2, 12.2; 22, 1¼3].

Баланс мощностей в многоконтурных параметрических системах. Уравнения Мэнли-Роу [2, 12.3].

Указания. Большинство изучаемых вопросов нашло должное отражение в [21, 22], где достаточно подробно изложена физическая сторона рассматриваемых явлений и процессов при сохранении строгости математического изложения.

По ряду изучаемых вопросов в руководствах [5, 6] приведены примеры и задачи с методическими указаниями, решениями и ответами.

13.2.  КРАТКИЕ Теоретические сведения

    Вносимое сопротивление

Известно [1, 2, 21, 22], что при периодическом изменении реактивного параметра ( или ) радиотехнической цепи в ней меняются энергетические соотношения. Энергия периодически либо вносится («накачивается») в цепь от генератора накачки, изменяющего параметр, либо отбирается («откачивается») из цепи. Эти процессы можно рассматривать как внесение в цепь сопротивления ; при этом , когда в цепь вводится дополнительная энергия, и , когда потери в цепи возрастают. Тогда эквивалентная схема цепи с периодически изменяющейся емкостью  или индуктивностью  представляется в виде цепи с постоянной емкостью  или индуктивностью  и активным сопротивлением .

На рис. 13.1 показана схема контура с периодически изменяющейся емкостью (а) и его эквивалентная схема (б). На рис. 13.2 даны пояснительные временные диаграммы.

Изменение энергетических соотношений описывается простыми выражениями: , . Уменьшение емкости в момент  на , когда , приведет к максимальному приращению энергии в цепи  и увеличению напряжения на . Через полпериода () уменьшение параметра снова увеличит энергию и напряжение и т. д.

Режим, при котором параметр меняется с двойной частотой входного сигнала , называется синхронным. Вносимое сопротивление описывается выражением [21].

,                                 (13.1)

где  – сопротивление параметрического элемента на частоте входного сигнала,  – коэффициент вариации (глубина модуляции) параметра,  – начальный фазовый сдвиг, а  – временной сдвиг сигнала (рис. 13.2, б); если наибольшая скорость уменьшения емкости соответствует максимуму заряда на конденсаторе, т. е.

,                              (13.2)

то  ,  и вносимое сопротивление максимально .

Рис. 13.1                                                                           Рис. 13.2

Коэффициент пропорциональности  в формуле (13.1) зависит от закона изменения параметра. Для прямоугольного (скачкообразного) и гармонического законов соответственно имеем

; .                                  (13.3)

При  () имеет место асинхронный режим накачки. В этом случае фазовый сдвиг  (или ) не остается постоянным, а изменяется со временем, т. е. . Поэтому вносимое сопротивление, определяемое по формуле [21],

,                    (13.4)

где , изменяется во времени с частотой ; при этом изменяется как величина, так и знак вносимого сопротивления. В частном случае, когда  и , формула (13.4) превращается в формулу (13.1).

Параметрическое усиление

Если выходное напряжение снимать с одного из реактивных элементов контура (рис. 13.1, а) то на резонансной частоте (, , ) коэффициент передачи

                 (13.5)

будет зависеть от величины и знака вносимого сопротивления.

Коэффициент усиления , показывающий, во сколько раз увеличивается коэффициент передачи параметрического контура по сравнению с обычным, определяется как

.                       (13.6)

Подставляя в (13.6) значение  из (13.1) и (13.4), получаем для синхронного и асинхронного режимов накачки

;                              (13.7)

.               (13.8)

Недостаток асинхронного режима – изменение коэффициента усиления во времени (с частотой ).

Так как вносимое сопротивление зависит от , то и коэффициенты передачи  и усиления  зависят от . Поэтому параметрическое усиление обладает свойством фазовой избирательности. В синфазном режиме ( и ) коэффициент усиления максимален

.                                 (13.9)

Из соображений устойчивости необходимо, чтобы . Поэтому глубина модуляции параметра не должна превышать критического значения

.                                  (13.10)

На рис. 13.3, а дана схема параллельного параметрического контура, подключенного к источнику тока с проводимостью , а на рис. 13.3, б – схема замещения, где  – проводимость эквивалентной нагрузки, включающей в себя как проводимость контура , так и проводимость собственно нагрузки ,  – вносимая проводимость