Решение игры в чистых стратегиях и в смешанных стратегиях. Определить оптимальный план продажи товаров

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Муниципальное образовательное учреждение

«Волжский институт экономики, педагогики и права»

Кафедра математики

Контрольная работа

по дисциплине: «Математическое моделирование экономических процессов»

вариант №2

Выполнил:

студентка заочного отделения группы

Проверил:

Волжский 2012 г.

Задача 1. Найти решение игры:

1) в чистых стратегиях;

2) в смешанных стратегиях, если платежная матрица задана в виде:

                  

Решение:

1) найдем верхнюю и нижнюю цену игры, проверим игру на наличие седловой точки.

α – нижняя цена игры находится по формуле:

β – верхняя цена игры

Если верхняя и нижняя граница совпадают, значит их общее значение является седловой точкой, т.е. игра решается в чистых стратегиях.

α = 8

β = 8

8=8, значит игра решается в чистых стратегиях.

Составим симметричную пару ЗЛП для игрока 1 и 2 соответственно.

Рассмотрим задачу с позиции интересов игрока 1. При фиксированных стратегиях игрока 2 игрока 1 применяет свои стратегии с вероятностями р₁, р₂, р₃, р₄.

Для фиксированных стратегий игрока 2 ожидаемый проигрыш игрока 1 составит:

Игрок 1 заинтересован, чтобы проигрыш не превысил α, т.е. справедливы неравенства:

При этом р₁+ р₂+ р₃+р₄ =1

Так как α>0, разделим обе стороны неравенства на α и введем обозначение  

/α

Для игрока 1 α – ожидаемая величина потерь и он заинтересована в снижении этой величины в том, чтобы  тогда . Переходим к системе неравенств:

Для фиксированных стратегий игрока 2 ожидаемый проигрыш игрока 1 составит:

С применением программного пакета MS Excel получаем следующие результаты:

 (оптимальный размер выигрыша игрока 1 и проигрыша игрока 2, %). Выполняется требование основной теоремы:

Если игрок 1 будет применять любую из стратегий А₁, А₃, А₄ риск будет максимальным, и будет состоять в том, что игрок выиграет меньше 8%.

Если игрок 2 будет пользоваться стратегиями В₁, В₂, В₄, то он проиграет больше 8%.

Таким образом, оптимальные стратегии 1-го игрока U*= (0, 1, 0, 0) и 2-го игрока Z*=(0, 0, 1, 0). Цена игры υ = 0,125.

2) найдем верхнюю и нижнюю цену игры, проверим игру на наличие седловой точки.

α – нижняя цена игры находится по формуле:

β – верхняя цена игры

Если верхняя и нижняя граница совпадают, значит их общее значение является седловой точкой, т.е. игра решается в чистых стратегиях.

α = 6

β = 8

6≠8 , значит седловой точки нет, значит игра не решается в чистых стратегиях. Компромиссное значение существует, ему соответствует α^*, для которой выполняется неравенство

Составим симметричную пару ЗЛП для игрока 1 и 2 соответственно.

Рассмотрим задачу с позиции интересов игрока 1. При фиксированных стратегиях игрока 2 игрока 1 применяет свои стратегии с вероятностями р₁, р₂, р₃, р₄.

Для фиксированных стратегий игрока 2 ожидаемый выигрыш игрока 1 составит:

Игрок 1 заинтересован, чтобы проигрыш не превысил α, т.е. справедливы неравенства:

При этом р₁+ р₂+ р₃+р₄ =1

Так как α>0, разделим обе стороны неравенства на α и введем обозначение  

/α

Для игрока 1 α – ожидаемая величина потерь и он заинтересована в снижении этой величины в том, чтобы  тогда . Переходим к системе неравенств:

Для фиксированных стратегий игрока 2 ожидаемый выигрыш игрока 1 составит:

С применением программного пакета MS Excel получаем следующие результаты:

 (оптимальный размер выигрыша игрока 1 и проигрыша игрока 2, %). Выполняется требование основной теоремы: