Курс лекций по дисциплине «Механика» (разделы «Теоретическая механика» и «Сопротивление материалов»), страница 8

В общем случае:

М0(Р) = ±Р×d .

Отсюда следует, что момент силы относительно центра обращается в нуль, если этот центр лежит на линии действия силыР, т.к. d = 0.

В случае пространственного расположения сил вводится понятие момента силы относительно оси.

Моментом силы относительно оси называется момент ее проекции на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью (рис.18).

Пусть точка Оявляется точкой пересечения оси Z с перпендикулярно расположенной к ней плоскостью S. Проекцией силы Р на плоскость S будетр, а плечом для этой проекции относительно точки О – отрезок d.

Тогда в общем случае:

Mz(P) = ± p ×d

Момент в этом уравнении будет положительным, если проекция силы Р на плоскость S стремится повернуть эту плоскость вокруг оси Z против часовой стрелки, и наоборот.

1.7. Уравнения равновесия пространственной и плоской системы сил.

Для пространственной системы как угодно расположенных сил в случае равновесия их главный вектор Р и главный момент М0 равны нулю, т.е.:

Р == 0;       M0 == 0;

Тогда   X = Y = Z = 0;   Mox = Moy = Moz.

Поскольку X, Y, Z, – суммы проекций всех сил на соответствующие координатные оси, а Mox,, Moy, Moz – главные моменты относительно координатных осей, то для пространственной системы сил будем иметь шесть уравнений равновесия:

å Xi = 0;   å Yi = 0;   å Zi = 0;

å Mx(Pi)= 0;   å My(Pi) = 0;   å Mz(Pi) = 0.

Первые три уравнения показывают, что алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из трех координатных осей равны нулю, а последние свидетельствуют о том, что алгебраические суммы моментов сил относительно тех же осей (главные моменты) равны нулю.

В случае пространственной системы сил, расположенных параллельно одной из координатных осей (напримерZ), уравнения равновесия сводятся к виду:

å Zi = 0;   å Mx(Pi) = 0;   å My(Pi) = 0,

т.е. получили одно уравнение проекций на осьZ, параллельную силам, и два уравнения моментов относительно двух других осей.

Три других уравнения равновесия обращаются в тождества типа  0 + 0 + 0 +...........+ 0 = 0.

Для плоской системы как угодно расположенных сил различают три формы уравнения равновесия.

Форма 1. Имеем два уравнения проекции всех сил на соответствующие координатные оси и одно уравнение моментов этих сил относительно начала координат, например,

å Xi = 0;   å Yi = 0;   å M0(Pi) = 0.

Форма 2. Имеем одно уравнение проекций на произвольную ось (например, Х) и два уравнения моментов относительно двух различных центров (например, А и В):

å Xi = 0;   å MA(Pi) = 0;   åMB(Pi) = 0.

Отметим, что ось Х не должна быть перпендикулярна линии АВ.

Форма 3. Имеем три уравнения моментов относительно трех центров (например, А, В и С) на плоскости, не лежащие на одной прямой:

å МА(Pi) = 0; å MВ(Pi) = 0; å MС(Pi) = 0.

Для системы сил, лежащих в одной плоскости и параллельных одной из координатных осей (например, Х) можно записать только два уравнения равновесия

å Xi = 0; å M0(Pi) = 0.

Сумма проекций сил Р1, Р2, Р3 ......... Рi на ось Y обращается в тождества вида  0 + 0 + 0 +............+ 0 = 0.