Высшая математика: Методические указания к практическим занятиям

Методические указания к практическим занятиям

по высшей математике

для профилей «бухгалтерский учет, анализ и аудит»

  «финансы и кредит»

 «производственный менеджмент»

часть 2

СПбГМТУ

Кафедра математики

2001

Санкт-Петербург

Оглавление:

Элементы математического анализа …………………...…………………… 3

Элементы теории вероятностей …………………………………………….. 24

Задачи для самостоятельного решения по мат. анализу ……………….. 34

Задачи для самостоятельного решения по теории вероятностей ….…. 44

Шпаргалка по элементарной алгебре........................................................ 51

Список литературы

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Наука, 1988.

Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М., Наука, 1998.

Коваленко И. Н., Филиппова А. А. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 1982.

Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. т. 1,2. Альфа, 1998.

2

1. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

1.1 Множества. Действия с множествами.

Понятие множества, как и некоторые другие понятия в математике, не определяется. Любая попытка дать определение множества становится злоупотреблением словарным богатством русского языка. Для того, чтобы определить какое-либо понятие, нужно прежде всего указать, частным случаем какого более общего понятия оно является. Для понятия множества сделать это невозможно, так как более общего понятия, чем множество, в математике нет. Георг Кантор подчеркнул это следующими словами: "Множество есть многое, мыслимое нами как единое."

Любое множество вводится описанием. Например: множество слонов в зоопарке; множество всех целых положительных чисел; множество стульев в здании института.

Особо выделяют множество, не содержащее ни одного объекта, так называемое пустое множество.

Объекты, образующие множество, называются его элементами.

Как правило, множество обозначается одной из заглавных букв латинского алфавита (А, В, М и.т.п.), а его элементы соответствующими строчными буквами с индексами или без (а₁, b₁₅, m и т.п.).

За некоторыми множествами закреплены стандартные обозначения:

Æ - пустое множество (не содержащее ни одного элемента);

N – множество всех целых неотрицательных чисел;

Z – множество всех целых чисел;

R – множество всех действительных чисел.

Запись аÎА означает следующее: а является одним из элементов, образующих множество А, или, что то же самое, а принадлежит множеству А;

аÏА означает, что элемент а не принадлежит А.

Кроме символа Î (принадлежит) используется еще один символ принадлежности: Ì, который ставят только между двумя множествами.

АÌВ означает, что множество А является частью множества В (т.е. если какой-либо элемент принадлежит А, то он обязательно принадлежит и В) и В называют подмножеством А.

Например, N есть подмножество Z, NÌZ. Также NÌR; ZÌR.

Считается, что запись ÆÌА верна для любого множества А, т.е. пустое множество является подмножеством любого множества.

Для удобства действий с множествами вводят понятие универсального множества, т.е. множества, содержащего любые элементы и включающего в себя любое множество. Обычно универсальное множество обозначают I. АÌI верно для любого А.

Следует запомнить следующие стандартные символы:

º - равно (ставится между множествами),

" - любой,

$ - существует,

: - такой, что (такая, что и т.п.)

АºВ означает, что множества А и В состоят из одних и тех же элементов.

Из АºВ следует, что АÌВ и ВÌА.

Примеры использования:

"  а Î А читается: любой элемент множества А;

$ а Î А – существует элемент а, принадлежащий множеству А.

Действия с множествами:

¨ Пересечение множеств.

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих обеим множествам (т.е. пересечение – общая часть А и В). Пересечение А.и В обозначается А·В, А&В, АÙВ, АÇВ. Эти обозначения тождественны. Пересечение множеств иногда называют произведением множеств.

Примеры:

1. А – множество всех равнобедренных треугольников;

В - множество всех прямоугольных треугольников

(А·В) – множество всех прямоугольников с равными катетами.

2. А – множество всех брюнеток;

В – множество всех голубоглазых женщин;

(А·В) – множество всех брюнеток с голубыми глазами.

¨ Объединение множеств.

Объединением двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, входящих хотя бы в одно из них. Объединение множеств А и В обозначается А+В, АÚВ, АÈВ. Объединение множеств иногда называют суммой множеств.

Примеры:

1. А – множество всех людей ростом выше 2 м. 10 см.;

В – множество всех людей ростом ниже 1 м. 45 см.;

(А+В) – множество всех людей нестандартного роста.

¨ Разность множеств.

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементов множества А, которые не входят в множество В. Разность множеств А и В обозначается А\В. А-В.

Примеры:

1. А – множество всех брюнеток;

В – множество всех голубоглазых женщин;

А\В – множество брюнеток с любым, кроме голубого, цветом глаз;

В\А – множество всех голубоглазых женщин, но не брюнеток.

2. А – множество всех целых чисел;

В – множество всех четных чисел;

А\В – множество всех нечетных чисел;

В\А – пустое множество.

Если В является частью А (ВÌ А), то разность А\В называют дополнением В до А.

¨ Разбиение множеств.

Пусть множество А является суммой (пересечением) своих подмножеств, никакие два из которых не имеют общих элементов, т.е. выполнено два условия:

АºВ₁+В₂+В₃+ ... +В_n;

В_i·B_jºÆ, если i¹j.

Тогда В₁,В₂,В₃, ..., В_n называют разбиением множества А на n подмножеств (или типов, или видов, или классов и т.п.).

Примеры:

1. При составлении каталога в библиотеке все множество книг разбивается на подмножества, в каждом из которых фамилии авторов начинаются на одну и ту же букву.

2. Все целые числа разбивается на две группы – четные числа и нечетные числа.

1.2 Числовое множество. Окрестность точки.

Точка сгущения числового множества.

Числовым множеством называют любое подмножество множества R. Каждому элементу этого множества (числу) ставят в соответствие точку на числовой оси. Соответствие это взаимно-однозначное: после того, как на прямой, которую называют числовой осью, отмечают две точки, соответствующий числам "0" и "1" (причем точка, соответствующая числу