Вычисление определителя D. Проверка совместимости системы уравнений

Домашнее индивидуальное задание. № 1-2 (для  всех  направлений  подготовки)

1.  Даны две матрицы А и В:

А = ,   В =

    Найдите:     1.1)  3А-9А,    1.2 )  АВ,  1.3) ВА,   1.4) А^-1 ,   1.5) А².

1.1.  3А-9А.

3А = 3 ×  =

9А = 9 ×  =

3A – 9A =  -  =

1.2.  АВ.

А × В =  ×  =

=  =

1.3.  ВА.

В × А =  ×  =

=  =

              Комментарий:

 Обратите  внимание  на  тот  факт,  что  АВ  ВА

1.4.  А^-1.

А₁₁ = (-1)¹⁺¹ × М₁₁ = (-1)¹⁺¹ ×  = (-8×3 – (-2)×3) = -18                  

А₁₂ = (-1)¹⁺² × М₁₂ = (-1)¹⁺² ×  = (-1) × (1×3 - 4×3) = 9

А₁₃ = (-1)¹⁺³ × М₁₃ = (-1)¹⁺³ ×  = (-2×1 – 4×(-8)) = 30                   

А₂₁ = (-1)²⁺¹ × М₂₁ = (-1)²⁺¹ ×  = (-1) × (-7×3 – (-2)×2) = -17        

А₂₂ = (-1)²⁺² × М₂₂ = (-1)²⁺² ×  = (3×3 - 4×2) = 1      

А₂₃ = (-1)²⁺³ × М₂₃ = (-1)²⁺³ ×  = (-1) × (3×(-2) - 4×(-7)) = 22        

А₃₁ = (-1)³⁺¹ × М₃₁ = (-1)³⁺¹ ×  = (-7×3 – (-8)×2) = -5       

А₃₂ = (-1)³⁺² × М₃₂ = (-1)³⁺² ×  = (-1) × (3×3 - 2×1) = -7       

А₃₃ = (-1)³⁺³ × М₃₃ = (-1)³⁺³ ×  = (3×(-8) - 1×(-7)) =  -17  

D = 3 × (-1)¹⁺¹ ×  + (-7) × (-1)¹⁺² ×  + 2 × (-1)¹⁺² ×  = 3 × (-24 + 6) + 7 × (3 - 12) – 2 × (-2 + 32) = -177

А^-1 =  = -

1.5.  А².

А² = А × А = ×  =

=  =

2. Вычислить определитель D:   .

Разложим  определитель  по  элементам  первой  строки: 

D =  = a₁₁ × A₁₁ + a₁₂ × A₁₂ + a₁₃ × A₁₃ + a₁₄ × A_14.  Теперь  вычислим  A_11,  A_12,  A₁₃,  A_14,    также  разлагая  соответствующие  определители по элементам  первой  строки.

A₁₁ = (-1)¹⁺¹ × M₁₁ =  = 2 × (-1)¹⁺¹ ×  + 1 × (-1)¹⁺² ×  + (-1) × (-1)¹⁺³ ×  =

= 2 × (0 + 4) – (0 - 4) – (-4 + 8) = 8

A₁₂ = (-1)¹⁺² × M₁₂ = -1 ×  =

=  -1 ×  =

= -1 × (3 × (1 - 2) + 4 × (3 + 1)) = -13

A₁₃ = (-1)¹⁺³ × M₁₃ =  =

Так как a₁₃ = 0, произведение a₁₃ × A₁₃ = 0, A₁₃ считать не нужно

A₁₄ = (-1)¹⁺⁴ × M₁₄ =   = -1 ×  =

= -1 × ( -1 × (-8 - 4) + (-12 - 3) + 2 × (12 - 6)  ) = -9

D= 2 × 8 + (-2) × (-13) - 3 × 9 = 16 + 26 + 27 = 15

     Комментарий: 

При  вычислении  определителей  разумно  сначала  преобразовать  определитель,   используя  свойства  определителя  таким  образом,  чтобы  в  какой-то  строке (столбце)  определителя  все  элементы  кроме  одного  были бы  равны 0.  А  затем  получившийся  определитель  разложить  по  элементам  упомянутой  строки (столбца).  Вычислим  таким  образом  заданный  определитель

 D = .  Добьемся  того,  что бы  в  3-й  строчке  определителя  все  элементы,  кроме  a₃₁ были бы  равны 0.

С  этой  целью:

1.  Из  2-ого  столбца  определителя  вычтем  первый  столбец.  Величина  определителя  при  этом  не  изменится: D =  = .

2.  Умножим  в  преобразованном  определителе  1-й  столбец  на  (-2)  и  сложим   полученный  результат  с  3-им  столбцом.  Величина  определителя  при  этом  не  изменится:

D = .

3.  Умножим  в  преобразованном  определителе  1-й  столбец  на  (-1)  и  сложим   полученный  результат  с  4-ым  столбцом.  Величина  определителя  при  этом  не  изменится:

D = .

4.  Полученный  определитель  разложим  по  элементам  3-й  строки:

D ==(добиваемся  того,  чтобы  в  3-ей строчке  все элементы  кроме  a₂₁ были=0) = .

3. Проверьте совместимость системы уравнений и, в случае совместности, решите ее: 1) используя правило Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса.

.

Пусть A =  ,  B = ,   .  Тогда  заданная  система  записывается  так:     .

3.1. Проверка системы на совместность.

A =     B = .   Находим  определитель  системы:

D =  = 0 × (-1)²⁺¹ ×  + 5 × (-1)²⁺² ×  + 4 × (-1)²⁺³ ×  = 5 × (5 + 3) – 4 × (-2 - 12) = 96

D ¹ 0 , следовательно, система совместна и имеет единственное решение.

3.2. Решение с использованием правила Крамера.

Находим  побочные  определители  D_1,  D₂, D₃:

D₁ =      D₂ =       D₃ = . И  тогда:

D₁ = 6 × (-1)¹⁺¹ ×  + 4 × (-1)¹⁺² ×  + (-1) × (-1)¹⁺³ ×  = 6 × (25 + 8) – 4 × (-100 + 88) – (40 + 110) = 96

D₂ = 0 × (-1)²⁺¹ ×  + (-20) × (-1)²⁺² ×  + 4 × (-1)²⁺³ ×  = -20 × (5 + 3) – 4 × (-22 - 18) = 0

D₃ = 0 × (-1)²⁺¹ ×  + 5 × (-1)²⁺² ×  + (-20) × (-1)²⁺³ ×  = 5 × (-22 - 18) + 20 × (-2 - 12) = -480

         И тогда . поскольку

x₁ =       x₂ =        x₃ = , получаем ответ:

x₁ =  = 1       x₂ = 0        x₃ =  = -5, или

X =

3.3. Решение с помощью обратной матрицы.

Пусть  A^-1 обратная  к  матрице  А,  тогда  решение  системы  запишем  в  виде .Найдем  обратную  матрицу  A^-1.  Они  находятся  из  соотношения:

А^-1 =  .  Находим  последовательно:

A₁₁ = (-1)¹⁺¹ × M₁₁ =  = 25 + 8 = 33

A₁₂ = (-1)¹⁺² × M₁₂ = (-1) ×  = -1 × (0 – 12) = 12

A₁₃ = (-1)¹⁺³ × M₁₃ =  = 0 - 15 = -15

A₂₁ = (-1)²⁺¹ × M₂₁ = -1 ×  = -1 × (20 - 2) = -18

A₂₂ = (-1)²⁺² × M₂₂ =  = 5 + 3 = 8

A₂₃ = (-1)²⁺³ × M₂₃ = (-1) ×  = -1 × (-2 -12) = 14

A₃₁ = (-1)³⁺¹ × M₃₁ =  = 16 + 5 = 21

A₃₂ = (-1)³⁺² × M₃₂ = -1 ×  = -4

A₃₃ = (-1)³⁺³ × M₃₃ =  = 5,    и  следовательно

A^-1 =      B = ,  но  тогда 

X =   =   =

3.4. Решение методом Гаусса.

. 

Преобразуем  расширенную  матрицу  системы  (прямой  ход).

 ®    ®   .

Полученная  в  результате  преобразования  матрица  есть  матрица  системы,  равносильной  исходной , и  тогда  (обратный ход)

          x₃ = -5

5x₂ + 4 × (-5) = -20

 5x₂ = 0

                     x₂ = 0

x₁ + 4 × 0 – (-5) = 6

                     x₁ = 1,  или

 X =

4. Проверьте совместимость системы уравнений, вычисляя ранги матрицы системы и расширенной матрицы и решите систему:

.

 Вычислим  ранг  матрицы из  коэффициентов  системы:

A =   ®   ®  

  Þ  R_A = 3.

Теперь  находим  ранг  расширенной  матрицы:

A^* =  ®  ®     (*)

    Þ    R_A^* = 3

            Число неизвестных m = 5.

Так  как  R_A = R_A^* = R = 3 система  совместна. Но при  этом R меньше  числа  неизвестных  и   и при этом число свободных переменных m – R = 5 – 3 = 2. Следовательно

Система совместна и имеет бесконечное множество решений, зависящих  от  2 параметров.

        Напишем систему, равносильную исходной,  расширенной матрицей которой является матрица (*):

                                                          0матриНаходим решение системы

Пусть  x₅ = a. Но тогда   x₄ =x₅ = a ( из последнего уравнения -4x₄ + 4x₅ = 0).

Положим  теперь x₃ = b  и  тогда:

x₂ + 3x₃ + 6x₄ – 4x₅ = 1

x₂ + 3x₃ + 2a = 1

x₃ = b

x₂ = 1 - 2a - 3b

x₁ + 4x₂ – 2x₃ – 3x₄ = 2

x₁ = 2 – 4x₂ + 2x₃ + 3x₄

x₁ = 2 – 4 × (1 - 2a - 3b) + 2b + 3a

x₁ = 2 – 4 +8a + 12b + 2b + 3a = 11a + 14b -2

Ответ:   X =