Образец выполнения домашнего задания по теме
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 2
1) Образует ли линейное пространство множество всех дифференцируемых функций, в котором определены сумма любых двух элементов a и b и произведение любого элемента α (сумма: f(t)·g(t), произведение α·f(t))?
Да, образует:
1. «Сумма» (в рассматриваемом случае произведении ) двух дифференцируемых функций f(t) иg(t), равная f(t)·g(t) - есть функция дифференцируемая.
2. f(t) ×g(t)= g(t) ×f(t)×
3. f(t) × (g(t) ×(t))=(f(t) ×g(t)) ×
(t)
4. (t)
,
f(t) ××1=1×f(t)=f(t).
Т.е. функция
(t)
-
это нейтральный элемент при «сложении» функций.
5. Операция умножение af(t), a заведомо удовлетворяет
аксиомам умножения вектора на число:
1. (af(t)) ×g(t)= a(f(t) ×g(t))
2. (ab)f(t)=a(bf(t))
3. 1·f(t)=f(t)
4. (a+b)f(t)=af(t)+bf(t)
2) При каких α система векторов линейно-зависима?:
Решение:
Если
система векторов , линейно-зависимая, то
должны найтись такие
числа не все равные нулю, чтобы
выполнялось равенство
(1). Это векторное уравнение
равносильно системе
уравнений:
(2)
Система
(2) – однородная линейная система, имеющая в случае линейной зависимости
системы векторов , ненулевые решения,
только в том случае , если определитель этой системы равен нулю
(ранг матрицы системы меньше 3)
.
Следовательно, должно быть
,
.
Ответ:
3) Найти
координаты вектора , заданного в базисе
, в новом базисе
, если
Решение:
Пусть - координаты вектора
в новом базисе.
a) способ
- суть решения системы
.
Решаем систему методом Гаусса:
2
способ Найдем . Тогда:
. Координаты вектора
в новом базисе.
Ответ:
4) Найдите
матрицу линейного оператора в базисе , где
если в базисе
она
имеет вид
Решение:
Пусть - матрица перехода от старого базиса
к новому. Тогода:
и
Найдем :
,
- алгебраические дополнения
элементов определителя матрицы
, а
- определитель матрицы S. Найдем
определитель матрицы S:
.
Теперь последовательно находим :
И , следовательно, -
матрица линейного преобразования
в
новом базисе.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.