Напряжения и токи на входе многополюсников

Лекция 2.

Напряжения и токи на входе многополюсников.

Соотношения между напряжениями и токами на входах многополюсника полностью определяют матрицу сопротивлений (проводимостей) многополюсника.

Введем понятия нормированных значений напряжений и токов, как величины и пропорциональные суммарному поперечному электрическому полю и суммарному магнитному полю  , соответственно.

Падающей волне соответствует падающая волна напряжения . Аналогично

соответствует  .

Из выражений, полученных в первой лекции, можно записать

,

Тогда комплексная мощность в сечении Z на входе

Сопротивление на входе полностью определяется значениями и .

Их отношение полагается равным нормированному сопротивлению в сечении Z.

Теперь можно записать

Можно получить коэффициенты пропорциональности между   и  и и                             

,

, где ,

,

V₁, V₂ – поперечные координаты в произвольной системе координат,

- единичный вектор, совпадающий по направлению с суммарной поперечной составляющей вектора ,

- единичный вектор, совпадающий по направлению с суммарной поперечной составляющей вектора .

Из последенего выражения видно, что

Аналогично можно показать, что

Выражения для конкретных типов волн в рассматриваемой линии передачи можно получить из приведенных выше общих выражений для ,

1.  Прямоугольный волновод, волна типа Н₁₀

,

.

2.  Круглый волновод, волна типа Н₁₁

где - корень уравнения ,

R – радиус круглого волновода.

3.  Коаксиальная линия, волна типа ТЕМ

 ,

, где R₁, R₂ – радиус внутреннего проводника и внутренний радиус внешнего проводника, соответственно.

Все свойства цепей с распределенными параметрами могут быть перенесены на СВЧ соединения.

Рассмотрим 2n – полюсник, показанный на рисунке. Если среда, заполняющая 2n – полюсник, линейная и изотропная, то и уравнения Максвелла линейные, то есть выполняется принцип суперпозиции, и напряжение на входе р можно рассматривать как сумму «вкладов» соответствующих токов на входах 1, 2, …, р…, n и можно записать

Полное входное сопротивление в сечении волновода, подключенного к плечу р определяется как

 

Рис. Схема 2n – полюсника.

Рассматривая напряжения на всех n входах по очереди получим совместную систему уравнений из n  линейных уравнений

……………………………………

Эту систему можно записать в матричной форме

или                                        , где и - векторы столбцы, - матрица сопротивлений.

Аналогично можно получить и матрицу проводимостей

матрицы столбцы (векторы) и являются либо входными, либо выходными величинами. Матрицы ,   определяют те преобразования, которые осуществляются многополюсником над векторами.

Основные теоремы теории цепей.

Теорема Пойтинга.

Рассмотрим уравнение баланса энергии для двухполюсника, показанного на рис.  , в комплексном виде, считая, что стенки двухполюсника выполнены из идеальных проводников, однако внутри устройства имеют место потери.

 

Рис.  Двухполюсник с идеально проводящими стенками.

, то есть комплексная мощность, выходящая через сечение S₁ из рассматриваемого двухполосника

 

Здесь направление вектора противоположно направлению тока (см. рис. ).

Значение , по этому можно записать

, откуда                   

Аналогично можно получить

Легко обобщить полученный результат для 2n – полюсника

 

Лемма Лоренца.

Если  и   представляют собой два различных решения уравнений Максвелла, удовлетворяющие граничным условиям внутри рассматриваемого соединения (либо действуют на одной и той же частоте два генератора СВЧ, либо рассматриваются два различных типа волн), то имеет место равенство (при условии изотропной среды, заполняющей устройство)

Интегрируя уравнение по объему устройства и применяя теорему Остроградского – Гаусса, получим

При двух решениях, соответствующих одному типу волны, т.е. если предполагается наличие двух генераторов СВЧ, так что

, где - комплексный множитель, то с учетом теоремы Пойтинга можно записать

Свойство взаимности (обратности).

Является частным случаем Ленны Лоренца и заключается в том, что для линейного многополюсника, заполненного изотропной средой, выполняются соотношения

Теорема Фостера.

Теорема Фостера позволяет анализировать сложные многополюсники и синтезировать их из простых элементов подобно току, как гармонический анализ дает возможность анализировать и синтезировать периодические волны сложной формы путем разложения их на простые гармонические волны.

Можно показать [ ] приложение 2, что

, где в случае потерь , а  , а

;

По определению

с учетом последнего выражения

или , так как .

Если потери в двухполюснике отсутствуют, то является чисто реактивным сопротивлением, то есть - действительная величина.

Запишем уравнение в виде