Исследование зависимости момента инерции крестовины с надетыми на нее грузиками от распределения массы относительно оси вращения, проходящей через центр масс

Работа 10. определение момента инерции с помощью маятника обербека

         Цель работы - исследовать зависимость момента инерции крестовины с надетыми на нее грузиками от распределения массы относительно оси вращения, проходящей через центр масс.

Общие сведения

В основе эксперимента лежит основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

      (1)

где М - суммарный момент внешних сил, приложенных к телу относительно оси вращения; J - момент инерции тела относительно той же оси; e - угловое ускорение.

В динамике вращательного движения различают два понятия: момент силы относительно точки и момент силы относительно оси вращения.

Момент силы относительно точки О определяется как векторное произведение

,

где - сила, - радиус-вектор, проведенный из точки О, в точку приложения силы.

Момент силы относительно оси вращения есть проекция  на произвольную ось z, которая проходит через точку О:

 .

Момент инерции тела  является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому как масса тела является мерой инертности тела при поступательном движении. Момент  инерции  тела   зависит  от   распределения  массы  тела относительно оси вращения. Для вычисления момента инерции твердого тела относительно данной оси  разобьем мысленно тело на большое число весьма малых элементов - материальных точек (рис.1). Тогда момент инерции тела

или

,

где Dm_i - масса элемента; r_i - расстояние от элемента до оси вращения; r - плотность вещества в элементе объема dV, находящегося на расстоянии r от оси вращения. Таким образом, задача нахождения момента инерции сводится к интегрированию.

Из формулы (1) следует, что угловое ускорение e вращающегося тела прямо пропорционально моменту внешних сил М и обратно пропорционально моменту инерции J. Следует подчеркнуть, что момент инерции не зависит ни от момента внешних сил М, ни от углового ускорения.

Маятник Обербека состоит из крестовины, на стержнях которой находятся грузы. Они могут перемещаться по стержням и закрепляться в нужном положении (см. рисунок  2 ). Крестовина с грузами насажена на вал, на котором укреплены два шкива различного радиуса. На шкив намотана нить, которая переброшена через блок. К ее концу привязана гирька, момент силы тяжести которой уравновешивает момент сил трения (вес этой гирьки в расчетах не учитывается).

К концу нити подвешивают груз массой m, под действием силы тяжести которого система приводится в движение. На груз действует сила тяжести P=mg и сила натяжения F, поэтому на основании второго закона Ньютона можно записать

      (2)

где g - ускорение свободного падения; а - ускорение, с которым движется груз.

Крестовина приходит во вращательное движение под действием момента силы натяжения

М = Fr_о ,          (3)

где r_о - радиус шкива.