Непараметрические методы (Лабораторная работа № 6), страница 3

4. Критерий Фридмана

Критерий Фридмана – непараметрический аналог дисперсионного анализа повторных измерений. При применении этого критерия упорядочиваются значения у каждого члена группы, независимо от остальных. Таким образом, количество упорядоченных рядов равно численности группы.  Затем для каждого момента наблюдения вычисляется сумма рангов. Если разброс этих сумм велик – различия статистически значимы.

Критерий Фридмана вычисляется следующим образом. Сначала рассчитывается сумма рангов по каждому моменту наблюдения (R_i). Затем вычисляется сумма квадратов отклонений истинных сумм рангов от средней суммы рангов для всего исследования.

Если численность группы составляет n, то средняя сумма рангов равна , где k – количество моментов наблюдения. Критерий рассчитывается следующим образом:

При большой численности групп его величина приблизительно следует распределению χ² с числом степеней свободы ν=k–1. Но при k=3 и n≤9; k=4 и n≤4 это приближение может быть слишком грубым и необходимо пользоваться табличными значениями.

Пример. Первичная легочная гипертензия – редкое заболевание, при котором повышается давление в артериях легких. Гидралазин – препарат, расширяющий сосуды, используется при гипертонической болезни. Исследователи предположили, что его можно использовать при первичной легочной гипертензии. Исследование включало четырех больных, у которых трижды измерялся сердечный выброс: перед лечением, через 48 часов и через 3-6 месяцев после лечения. Результаты в таблице. Изменялось ли сердечное сопротивление статистически значимо?

По таблице критических значений критерия Фридмана для k=3 и n=4 различия статистически значимы (χ²_r = 6,5 α=0,042). Если воспользоваться таблицей для критерия χ², то для двух степеней свободы и α=0,05 χ²=5,991 – также обнаруживаем статистически значимые различия. Таким образом, по крайней мере, в один из моментов наблюдения сердечное сопротивление значимо отличается – препарат обладает эффективностью.

Задание 5.

Шести школьникам было предложено ответить на вопросы теста. Фиксировалось время решения каждого задания. Наблюдаются ли статистически значимые различия между временем решения первых трех заданий теста?

Задание 6.

При ишемической болезни сердца курение может вызвать приступ стенокардии. Это связано с тем, что никотин увеличивает потребность миокарда в кислороде, а окись углерода связывается с гемоглобином, тем самым снижая поступление кислорода. Для изучения влияния пассивного курения исследователи определяли у 12 больных ишемической болезнью сердца продолжительность физической нагрузки до развития приступа стенокардии. Измерения проводились 4 раза: до и после 2 часов отдыха на свежем воздухе и до и после 2 часов отдыха в комнате, где курили. Результаты приведены в таблице. Являются ли различия в продолжительности физической нагрузки статистически значимыми?