Символ суммы. Детерминанты: определение и свойства. Вычисление детерминантов. Правило Крамера. Метод Гаусса решения системы, страница 3

Задача состоит в нахождении решений си­стемы, причем мы не делаем заранее никаких пред­положений   относительно   коэффициентов   и свободных членов системы и даже относительно числа уравнений и числа неизвестных. Поэтому могут представиться раз­личные возможности. Система может вообще не иметь решения.

Системы, не имеющие решений, мы будем называть несовместными, а имеющие решения — совместными.

5. Правило   Крамера.

Рассмотрим случай, когда число уравнений равно числу не­известных, . Кроме того, мы наложим определен­ные условия на коэффициенты системы. Если этого не сделать, нам  придется изучать здесь, например, и систему, состоящую из одного уравнения, повторенного  раз.  Мы  хотим, чтобы все уравнения системы были в определенном смысле независимы. Уже в школьном курсе широко применялся следующий прием: умножали первое   уравнение на число а, второе уравнение —на число  р, а   затем складывали эти уравнения почленно. Полученное уравнение (его естественно назвать линей­ной комбинацией исходных уравнений) является их след­ствием. Мы хотим, чтобы в нашей системе ни одно урав­нение не являлось линейной комбинацией остальных. Если это выполнено, мы будем говорить, что уравнения

линейно независимы.

В случае  для линейной независимости уравне­ний системы достаточно потребовать, чтобы детерминант матрицы системы был отличен от нуля. (Поскольку , и матрица квадратная, имеет смысл говорить об ее де­терминанте.) Действительно, заметим, что при умноже­нии какого-нибудь уравнения на число соответствующая сложении уравнений строки матрицы складываются. По­этому, если одно из уравнений является линейной ком­бинацией остальных, соответствующая строка матрицы системы есть линейная комбинация остальных строк. Из предложения следует, что при этом детерминант матрицы системы равен нулю.

Теорема (правило  Крамера). Система из  уравнений с  неизвестными

в случае, когда детерминант матрицы системы отличен от нуля, имеет решение и притом только одно. Это ре­шение находится по формулам

      

где через  обозначен детерминант матрицы системы, а через  — детерминант матрицы, получаемой из матрицы системы заменой -го столбца столбцом свободных чле­нов.

Доказательство. Докажем сначала, что

      

представляет собой решение системы.

Подставим эти решения в левую часть системы

Поменяем порядок суммирования

Известно, что

тогда, получаем

Что и требовалось доказать.

Докажем теперь, что решение системы един­ственно, т. е. каждое решение системы должно совпа­дать с решением Крамера.

Домножим обе части системы на  и просуммируем по .Здесь   - алгебраическое  дополнение  элемента  матрицы  системы. После перемены порядка суммирования, получаем

По свойствам определителей , а  (детерминант матрицы, получаемой из матрицы системы заменой -го столбца столбцом свободных чле­нов)и тогда приходим к уравнению

Если , то мы получаем формулу Крамера

      

Единственность решения доказана, так как номер  был взят произвольно.

В случае, когда  необходимо проводить дополнительные исследования системы.

Пример. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Решение: По правилу Крамера решение системы линейных алгебраических уравнений, если главный определитель системы отличен от нуля, запишется

Здесь  – главный определитель системы,

  – детерминант матрицы, получаемой из матрицы системы заменой -го столбца столбцом свободных чле­нов

Вычислим эти определители

     

      

И тогда

 ;   ; z 

И окончательно 

Проведем проверку

Система решена.

6. Метод Гаусса решения системы.

Этот метод решения системы, сродни методу Гаусса нахождения определителя.

Составляется расширенная матрица системы, состоящая из матрицы системы и столбца свободных членов

Которая по методу Гаусса сводится к диагональному виду

Для определения мы получили уравнение

откуда, если  , то   

Для определения мы получили уравнение

Зная нетрудно найти

Продолжая этот процесс, мы дойден до .

Пример. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Решение:  Составим расширенную матрица системы, состоящую из матрицы системы и столбца свободных членов. Для удобства поменяем местами первые два уравнения.

По методу Гаусса сведём матрицу к диагональному виду

И  мы пришли к системе

Из полученной системы   

Проведем проверку

Система решена.

Решение полученное методом Крамера и методом Гаусса совпали.