Из свойства 1 следует равноправность строк и столбцов. Именно, если справедливо какое-либо утверждение о детерминантах, касающееся строк соответствующих матриц, то верно и аналогичное утверждение, касающееся столбцов, и обратно.
Свойство 2. Если элементы одной строки или столбца детерминанта равны нулю, то и детерминант равен нулю.
Доказательство:
Доказательство вытекает из доказанной ранее теоремы. Раскроим детерминант по -й строке
что и требовалось доказать.
Свойство 3. Для того чтобы умножить детерминант на число, достаточно умножить на это число строку (столбец).
Доказательство:
Доказательство вытекает из доказанной ранее теоремы. Раскроим детерминант по -й строке
Таким образом каждый элемент -й строки умножился на
, что и требовалось доказать.
Свойство 4. Если одна из строк (столбцов) является суммой двух строк (столбцов), то её детерминант есть сумма детерминантов соответствующих матриц.
Доказательство:
Доказательство вытекает из доказанной ранее теоремы. Раскроим детерминант по -й строке
что и требовалось доказать.
Свойство 5. Если в матрице поменять местами какие-нибудь две строки (столбца), то ее детерминант изменит знак.
Доказательство:
Доказательство мы проведем методом полной индукции. Непосредственно очевидно,
что для матриц второго порядка она справедлива
Здесь матрица,
у которой поменяли местами строки.
Допустим,
что формула верна для матриц порядка , и докажем ее для
матрицы порядка
. Детерминант матрицы порядка
мы разложим по любому столбцу, отличному от
переставляемых столбцов. Переставляемые столбцы входят в каждый дополнительный
минор, и если предложение справедливо для матриц порядка
, при перестановке столбцов каждый минор
меняет знак. Отсюда вытекает, что знак изменится и у детерминанта
, что и заканчивает доказательство.
В качестве следствий из свойства 4 мы получим следующие свойство.
Свойство
6. Если в матрице есть два две одинаковые строки (одинаковых
столбца), то
.
Доказательство:
Действительно, при перестановке одинаковых столбцов мы не изменяем матрицу, а
изменим знак у детерминанта. Отсюда и,
следовательно,
, что и требовалось доказать.
Свойство 7. Справедливы следующие формулы
,
Здесь -
символ Кронекера, который определён следующим образом
Доказательство:
Если то мы получаем детерминант, раскрытый по
-ой строке. Если же
то
получается детерминант, у которого две строки равные, а он по 5 свойству детерминантов
равен нулю, что и требовалось доказать.
Свойство 8. Детерминант матрицы не изменится, если к какой-нибудь строке (какому – нибудь ее столбцу) прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов) этой матрицы.
Доказательство:
К -й строке прибавим линейную комбинацию остальных
строк, а затем раскроем определитель по
-й строке.
По свойству 7 .
Тогда получаем свойство доказано.
3. Вычисление детерминантов.
Используя свойства детерминантов, его можно привести к диагональному виду
Полученный детерминант
вычисляется по формуле .
Метод сведение детерминанта к диагональному виду называется методом последовательных исключений, который впервые предложил Гаусс.
Опишем
его. Пусть , это предположение не ограничивает
общность рассуждений, в силу свойств детерминантов (если
, то поменяем местами столбцы, поменяв знак
на противоположный ). Умножим первую строку на
и
сложим со второй строкой, тогда на первом месте во второй строке будет ноль. Умножим
первую строку на
и сложим с третей строкой, тогда
на первом месте в третей строке будет ноль и так далее. Мы получим детерминант
в котором . Аналогичным образом сделаем нули во втором
столбце под элементом
и так далее. Если в процессе
вычислений в одной из строк все элементы получатся равные нулю, то и
детерминант будет равен нулю.
4. Системы линейных уравнений
Систему уравнений вида
мы будем называть системой линейных
уравнений с
неизвестными
. Коэффициенты этих уравнений мы будем
записывать в виде матрицы
называемой матрицей
системы. Числа, стоящие в правых частях уравнений, образуют столбец , называемый столбцом свободных членов.
Определение. Совокупность чисел
называется решением системы,
если каждое уравнение системы обращается в тождество после подстановки в него
чисел
вместо соответствующих неизвестных
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.