Исследование систем массового обслуживания

Гамма на основе критерия  хи-квадрат средствами Statistica.

Таблица 3.

	Observed	Cumulative  Observed	Percent  Observed	Cumul. % Observed	Expected Frequency	Cumulative    Expected	Percent Expected	Cumul. %   Expected	Observed-  Expected
<= 11,111	51	51	25,62814	25,6281	51,87901	51,8790	26,06985	26,0699	-0,87901
22,222	63	114	31,65829	57,2864	65,13076	117,0098	32,72903	58,7989	-2,13076
33,333	45	159	22,61307	79,8995	41,30189	158,3117	20,75472	79,5536	3,69811
44,444	24	183	12,06030	91,9598	21,74218	180,0539	10,92572	90,4793	2,25782
55,555	11	194	5,52764	97,4874	10,47275	190,5266	5,26269	95,7420	0,52725
66,666	5	199	2,51256	100,0000	4,78789	195,3145	2,40597	98,1480	0,21211
77,777	0	199	0,00000	100,0000	2,11486	197,4294	1,06275	99,2107	-2,11486
88,888	1	200	0,50251	100,5025	0,91164	198,3410	0,45811	99,6688	0,08836
< Infinity	0	200	0,00000	100,5025	0,65901	199,000	0,33116	100,000	-0,65901

 Рис. 3. Гистограмма распределения времени нахождения заявки в системе

c наложением закона Гамма

Поскольку p-значение не меньше α (0,69342>0,05), гипотеза H₀ призаданном уровне значимости не отвергается.

Среднее время пребывания требования в системе по результатам 10 экспериментов:

Среднее время обработки одной заявки каналами результатам 10 экспериментов:

Среднее время ожидания в очереди по результатам 10 экспериментов:

3.2.  Имитация СМО с учетом дополнительных условий

По заданию одну заявку обслуживают два канала, значит, это система с взаимопомощью. Каждая заявка одновременно обслуживается двумя каналами, соответственно интенсивность обслуживания рассчитывается как суммарная интенсивность работы двух каналов.

Вероятность простоя системы:

Вероятность загрузки системы:

Вероятность загрузки 1 канала (без очереди):

Вероятность загрузки 1 канала (с очередью):

Вероятность отказа в обслуживании:

Среднее число требований в очереди:

 

Среднее число занятых каналов:

Среднее число заявок в системе:

Среднее время пребывания требования в системе:

Среднее время обработки одной заявки каналами:

Среднее время ожидания в очереди:

Увеличение интенсивности обслуживания заявок значительно сократило время их пребывания в СМО. Однако это не привело к улучшению характеристик системы. Среднее время ожидания в очереди увеличилось более чем в 3 раза (из-за ликвидации одного самостоятельного канала), а вероятность простоя системы – более чем в 1,2 раза  (интенсивность потока поступления заявок намного меньше интенсивности потока их обработки). Поэтому можно сделать вывод, что в данной СМО взаимопомощь не является оптимальным решением задачи улучшения ее функционирования.

4. Анализ результатов моделирования

Таблица 4. Ошибки определения параметров СМО

Параметр	Аналитический метод	Метод ИМ	Ошибка оценки показателя ε (в %)
P0	0,6374	0,62	2,73
P1	0,2857	0,2974	4,1
P2	0,0727	0,0723	0,55
P3	0,0113	0,0109	3,54
Pзагр	0,3626	0,38	4,8
n0	0,0113	0,0109	3,54
tож	0,565	0,531	6,02
Nз	0,4537	0,4631	2,07
J	0,465	0,474	1,93
tc	22,787	23,13	1,51
tобр	22,222	22,552	1,49

Как видно из таблицы 4, оценки значений вероятностей и характеристик СМО, полученные в результате имитационного моделирования статистически близки с точными значениями, рассчитанными аналитически. Поэтому можно сделать вывод о довольно высокой эффективности имитационного метода применительно к решению данной задачи. Незначительные расхождения с аналитически рассчитанными значениями объясняются переходными процессами в системе, а также некачественной генерацией последовательностей случайных чисел.

Однако сама система, несмотря на маленькое время ожидания в очереди и низкую вероятность отказа в обслуживании, является довольно неэффективной: очень велика вероятность ее простоя.

Несколько улучшить характеристики заданной СМО может полная ликвидация одного из каналов обслуживания (однако при этом необходимо позаботиться об увеличении очереди до 3 - 4). В этом случае вероятность загрузки системы увеличится с 0,38 до 0,48, хотя остальные характеристики при этом несколько ухудшатся.

Примером реальной СМО может служить склад комплектующих для компьютера. Поскольку поток покупателей не очень значителен, довольно велика вероятность простоя, а образование очереди, наоборот, маловероятно. Это СМО полностью соответствует варианту без дополнительных условий. А варианту с дополнительными условиями соответствует ситуация, когда поступает большой заказ и все работники стараются как можно быстрее его выполнить (собрать все необходимые комплектующие, аксессуары и др.).

Выводы

По результатам проведенных исследований СМО можно сделать следующие