Действия с комплексными числами. Выделение целой и мнимой части. Интегральная теорема Коши

Z=re^ij=r(cosj+isinj)- комплексное число.

Действия с компл. числами:

Zⁿ=rⁿe^inj;                  

Z₁Z₂=r₁r₂e^i(j1+j2);      Z₁/Z₂=r₁/r₂e^i(j1-j2);

        

            

cos(iZ)=chZ

sin(iZ)=ishZ

ch(iZ)=cosZ

sh(iZ)=iShZ

                  Z1^Z2=e^Z2*LnZ1;

Выделение целой и мнимой части:

e^z=e^x+iy=e^x(cosy+i siny)=( e^x cosy)+i( e^x sin y);

W=LnZ=ln|Z|+i(argZ+2pk);

W=cosZ=>u=cosXchY; v=sinXshY;

W=sinZ=>u=sinXchY; v=cosXshY;

W=chZ=>u=chXcosY; v=shXsinY;

W=shZ=>u=shXcosY; v=chXsinY;

Преобразование к Z:

 

Коши-Риман:

W=f(Z)=u+iv;

Восстановление аналит. ф-ии по её действ.

или мнимой части:

1. гармоничность?

2.

3. С(y)+С->(u) или C(x)+С->(v)

4.f(z) = …

Аналитические функции в точке- дифф в

точке и ее окрестности.

Гармоническая функция - если ее действ.

и мнимая части удв. ур. Лапласа:

Интегральная теорема Коши:

    Для односвязной области:

 

    Для многосвязной области:

 

Интегральная формула Коши:

Q_n(x) не имеет действительных корней!!!

Лемма Жордана:

	УОТ	ПП	Пk	СОТ
Rez f(z)	0	1. lim(f(z)(z-z0))       z®z0 2.j( z0)/y’(z0)	lim(f(z)(z-z0)k)(k-1)/(k-1)!	С-1

УОТ
Полюс
СОТ	не существует

A/(x-a) или A/(x-a)^k или Mx+N/(x²+px+q)

Г(1) = 1;  Г(р+1) = рГ(р);  Г(n+1) = n!

Обратное преобр. Лапласа:

Пример: (чётная – косинусы, нечётная - синусы)

 

Пример: (Г и В функции)

Пример: (теорема Руше)

Пример: (в ряд Лорана)

Интегрирование по параметру:

Линии второго порядка:

1. Гипербола

2. Парабола

3. Эллипс

4. Общее уравнение

Уравнение (11.14) всегда определяет: либо окружность (при А = С), либо эллипс (при А•С > 0), либо гиперболу (при А•С < 0), либо параболу (при А•С = 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) — в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы — в пару пересекающихся прямых, для параболы — в пару параллельных прямых.

1. Комплексный числа и действия над ними, тригономнтричекая и показательная форма компл. числа, корни n-ой степени из компл. числа (1).

2. Определение регулярной (аналитической) функции (5). Условия Коши-Римана. (6)

3.Линейная функция. Её регулярность (аналитичность). Отображение, которое она осуществляет. (1)

4. Степенная функция. Её регулярность (аналитичность). Область однолистности. Отображение, которое она осуществляет. (1-2)

5.Показательная функция. Её регулярность (аналитичность). Область однолистности. Период. Отображение, которое она осуществляет. (1-2)

6.Тригонометрические и гиперболические функции. Их регулярность (аналитичность). Периоды. (3)

7.   Логарифм комплексного переменного.   Регулярность (аналитичность). Многозначность отображения, которое он осуществляет. (4)

8.   Общая степенная функция комплексного переменного.   Регу­лярность (аналитичность).   Многозначность отображения, которое он осуществляет.

9.  Гармонические функция. Их связь с регулярными функциями комплексного переменного. (7)

10.   Геометрический смысл модуля и аргумента производной ре­гулярной (аналитической) функции.  Понятие конформного отобра­жения. (8)

11.  Определение интеграла от функции комплексного переменно­го, его связь с криволинейными интегралами. Основные свойства. (9)

12.   Интеграл от регулярной (аналитической) функции, Его неза­висимость от пути интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница. (12)

13.  Интегральная теорема Коши для односвязной и многосвязной областей. (11)

14.    Интегральная формула Коши для регулярной (аналитиче­ской) функции. (*)

15.    Бесконечная дифференцируемость аналитических функций. Интегральная формула Коши для производных регулярной (анали­тической) функции. (*)

16.  Разложение регулярной (аналитической) функции в ряд Тей­лора. Область сходимости. Формулы для коэффициентов. (13)

17.  Разложение функции, аналитической в кольце, в ряд Лорана. Формулы для коэффициентов. (14-15)

18.    Изолированные особые точки регулярной (аналитической) функции и их классификация. Примеры. (16)

19.   Устранимая особая точка. Ряд Лорана и поведение функции в окрестности этой точки. (17)

20.    Полюс n-го порядка.   Ряд Лорана и поведение функции в окрестности этой точки. (18)

21.  Существенно особая точка. Ряд Лорана и поведение функции в окрестности этой точки. (20)

22.   Нуля аналитической функции. Порядок нуля. Связь между нулем и полюсом. (19)

23.   Вычет аналитической функции в точке.   Его связь с рядом Лорана. Основная теорема о вычетах. (21)

24.   Формулы для вычисления вычетов в простом и кратном по­люсе. (21 и 22)

25. Стереографическая проекция. Бесконечно удаленная точка. Ряд Лорана в окрестности бесконечности. Классификация особенно­стей в бесконечности. (24)

26.   Вычет в бесконечно удаленной точке. Его связь с рядом Ло­рана. Вторая теорема о вычетах. (24)

27.    Приложение теории вычетов к вычислению интегралов по вещественной прямой от рациональных функций. (25)

28.  Лемма Жордана. Вычисление несобственных интегралов ви­да (26)

                                            

29.  Логарифмический вычет. Связь числа нулей и полюсов функ­ции внутри замкнутого контура с интегралом по этому контуру. (29)

30.  Принцип аргумента. Теорема Руше. (31)

31.  Интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность по па­раметру. (31)

32.  Интегралы, зависящие от параметра. Интегрирование и диф­ференцирование по параметру. (32)

33.  Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Опреде­ление равномерной сходимости. Признаки равномерной сходимости. (33)

34.  Равномерная непрерывность несобственного интеграла по па­раметру. Примеры. (34)

35.     Интегрирование несобственного интеграла по параметру. Примеры. (34)

36.  Дифференцирование несобственного интеграла по параметру. Примеры. (34)

37.   Гамма-функция и её свойства: формула понижения, связь с факториалом, формула дополнения. (35-36)

38.   Аналитическое продолжение гамма-функции в комплексной плоскости. Её значения на отрицательной полуоси. Свойства Г(z). (35-36)

39.   Бета-функция.   Её связь с гамма-функцией.   Применение к вычислению интегралов. Пример. (36-37)

40.  Определение преобразования Лапласа. Его аналитичность. (39-40)

41.  Определение преобразования Лапласа. Его обращения с помо­щью вычетов. (39-40)

42.  Степенные ряды. Теорема Абеля.

43.   Радиус и круг сходимости степенного ряда. Вычисление ра­диуса сходимости.

44.  Свойства степенных рядов. Сформулировать условия непре­рывности, дифференцируемости, интегрируемости степенного ря­да в заданной области.

45.  Преобразование Фурье и его свойства. (38)

46.  Тригонометрические ряды Фурье: вещественная и комплекс­ная формы записи, ряды Фурье для четных и нечетных функций, разложение функций на полупериоде в ряды по синусам и по косину­сам.

47.    Тригонометрические ряды Фурье:   признаки сходимости и равномерной сходимости, теорема единственности.

49. Свойства коэффициентов ряда Фурье.