Интерполирование функций

Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет

Факультет Технической Кибернетики

Кафедра Системного Анализа и Управления

Работа №1

Курс: «Вычислительная математика»

Тема: «Интерполирование функций»»

Вариант 5

                                                                                                       Выполнил:  ст. гр. 2082/2

                                                                                                                                Дегтярёв И. В.

Проверил:  Куприянов В. Е.

Санкт-Петербург

2006 г.

1.  Постановка задачи.

   Сравнить графики интерполяционных полиномов в форме Ньютона P_n(x) (n = 2, 6, 14)  с заданной функцией f(x) при двух вариантах выбора узлов:

а) равномерно с шагом h = 2/n

б) по Чебышеву

2.  Метод решения.

Выбор узлов по Чебышеву:

                        x = cos((2i + 1)π/2n))

Кусочно-линейный сплайн:

                        f(x) = a₁ + a₂x + α₁|x – x₁| + α₂|x – x₂|

Разделенные разности:

                        f(x₀,…, x_n) = (f(x₁,…,x_n) – f(x₀,…,x_n-1))/(x_n – x₀)

Интерполяционный полином в форме Ньютона:

                        N_n(x) = f(x₀) + (x - x₀)f(x₀, x₁) +…+ (x - x_n-1)f(x_0, x₁, x_n)

3.  Структура программы.

1) i_pol = main(n, type)

Входные значения: n – степень полинома

                                  type – тип выбора узлов

Выходные значения: i_pol – массив значений и.п.

function i_pol = main(n, type)

x_m = razb(n, type);         %а)

f = zn_func(x_m);             %б)

rr_m = rr(f, x_m, n);        %в)

i_pol = pol(rr_m, x_m, n);   %г)

2)         а)  x = RazbFn(n, type)

Входные значения: n – степень полинома

                                  type – тип выбора узлов

Выходные значения: x – массив разбиения

б) f = zn_func(x)

Входные значения: x - разбиение        

Выходные значения: f – массив значений функции

в) rr = RR(f, x, n)

Входные значения:  f – массив значений функции

                                   x - разбиение

n – степень полинома                              

Выходные значения: rr – массив разделенных разностей

(*) mat_rr(t, u + 1) = (mat_rr(t + 1, u) - mat_rr(t, u))/(x(t + u) - x(t))

г) i_pol = pol(rr_m, x_m, n)

Входные значения:  rr_m – массив разделенных разностей

                                   x - разбиение

n – степень полинома                              

Выходные значения: i_pol – массив значений и.п.

3) megamain()

Вызывает несколько раз функцию main для построения графиков с различными значениями n и type.

4.  Текст программных модулей.

function megamain()

n = [2, 6, 16];

x = [-1: 0.01: 1];

for  t = 1: 1: 3

    subplot(2, 2, t);

    zf = zn_func(x);

    pr = main(n(t), 1);

    pch = main(n(t), 2);

plot(x, zf, x, pr, x, pch, x, zf - pr, x , zf - pch), grid on;