Исследование функции и построение графика

Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский  государственный горный  институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

Кафедра Высшей математики

Расчетно-графическое задание №2:

Исследование функции и построение графика.

студент группы ЭР-03-2                           _____________          Насипкалиев Ф.И. 

                                                                                                                     (подпись)                                        (Ф.И.О)

Санкт-Петербург

2004

I.  Исследовать и построить график функции  

Решение.

1)  Область определения данной функции ;

      2) Для выяснения четности и нечетности функции рассмотрим .  - функция общего вида и график никакой симметрии относительно осей не имеет. Функция непериодическая;

3) Вертикальных асимптот нет.

     4) Найдем наклонные асимптоты, вычислив  и  (при раскрытии неопределенностей типа будем использовать правило Лопиталя):

Отсюда следует, что функция вертикальных асимптот не имеет.

      5) Исследуем функцию на экстремум и найдем её интервалы монотонности. Так как

очевидно, что x= – стационарная точка.

Определим интервалы монотонности функции:

 

Функция возрастает на промежутке  и убывает на промежутке .

Точка является минимум функции, так как производная меняет знак на соответсвующем промежутке с минуса на плюс;

6) Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика кривой и точки перегиба:

Критические точки второго рода: x=0 (), x=2,03 ().

Учитывая, что график функции (x) убывает на промежутке  и возрастает на промежутке можно сделать вывод, что график исходной кривой выпуклый при  и вогнутый при . Точки с координатами А(2,03;0,274),В(0;0) является точками перегиба.

7) Для  построения графика функции используем следующие значения функции: f(10) =15,081;  f(9)=12,481;  f(8)=10;  f(7)=7,651; f(6)=5,451;  f(5)=3,42;  f(4) =1,587;  f(3) =0;  f(2)=-1,259;  f(1)=-2;  f(0)=0;  f(-10) =28,007;  f(-9)=24,961;   f(-8)=22;  f(-7)=19,129; f(-6)=16,354;  f(-5)=13,679;  f(-4) =11,111;  f(-3) =8,653;  f(-2)=6,299;  f(-1)=4. Построенный график функции  имеет вид: