Исследование функции и построение графика, страница 2

II. Исследовать и построить график функции .

Решение.

1) Область определения данной функции ;

2) Для выяснения четности и нечетности функции рассмотрим .  - функция общего вида и график никакой симметрии относительно осей не имеет. Функция периодическая;

3) Вертикальных асимптот нет

4)Найдем наклонные асимптоты, вычислив  и  (при раскрытии неопределенностей типа будем использовать правило Лопиталя):

, следовательно, функция не имеет наклонных ассимптот;

5) Исследуем функцию на экстремум и найдем её интервалы монотонности.   

 

Функция возрастает на промежутке  и убывает на промежутке .

6) Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика кривой и точки перегиба:

Критические точки второго рода:   ( ).

Учитывая, что график функции (x) убывает на промежутка  и возрастает на промежутке можно сделать вывод, что график исходной кривой выпуклый при  и вогнутый при. Точки с координатами и  являются точками перегиба.

7)Для  построения графика функции используем следующие значения функции:    f(12) =0,175;     f(11)=-0,999;     f(10) =0,160;    f(9)=1,242;  f(8)=1,01;    f(7)=1,225;    f(6)=0,642;     f(5)=-0,878;     f(4) =-0,325;  f(3) =1,121;  f(2)=-1,082;     f(1)=-1,133;     f(0)=1;      f(-12) =1,248;     f(-11)=1,00001;          f(-10) =1,248;       f(-9)=0,418;   f(-8)=-0,968;    f(-7)=-0,088;     f(-6)=1,201;       f(-5)=1,039;   f(-4) =1,184;    f(-3) =0,838;    f(-2)=-0,736;      f(-1)=-0,549. Построенный график функции  имеет вид:

III.Решить задачу с помощью производной

Из всех прямоугольников данной площади S определить тот периметр, которого наименьший.

Решение

 

       Площадь прямоугольника: S=xy

x

                                           Периметр:P=2(x+y)

                                        Выразим сторону y через площадь :,