Управление перевернутым маятником

СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ НГТУ. – 2012. – № 1(__). – 3–10

автоматическое управление
и идентификация

УДК 681.513

УПРАВЛЕНИЕ ПЕРЕВЕРНУТЫМ МАЯТНИКОМ*

А.А. Воевода, Е.В.ШОБА

Приведены линеаризованные модели перевернутого маятника на тележке, соответствующие случаю, когда пренебрегаем моментом инерции маятника. У объекта один вход и два выхода. Рассмотрены несколько вариантов стабилизации положения маятника на основе модального метода с использованием полиномиальных представлений.

Ключевые слова: перевернутый маятник, тележка, модель объекта, стабилизация положения маятника, модальный метод синтеза, полиномиальное представление.

ВВЕДЕНИЕ

Перевернутый маятник на тележке представляет собой хороший тестовый пример для апробации различных методов синтеза [1, 2]. В данной работе используем числовые значения, приведенные в [3], а именно, моментом инерции маятника пренебрегаем. Специфика этого объекта заключается в том, что число входов не равно числу выходов, а именно управляющий сигнал один, а регулируемых величин две. Уточним задачу – потребуем стабилизации положения маятника в верхнем положении и будем управлять положением тележки или ее скоростью. Ограничимся простейшими законами управления.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим перевернутый маятник на тележке (Рис.1): - масса тележки, - масса маятника, - координата центра тяжести тележки (по горизонтальной оси - расстояние от центра тяжести, - координата центра тяжести маятника (по горизонтальной оси), - отклонение маятника от вертикали, - сила, приложенная к тележке, , - силы, вызванные воздействием маятника на тележку (Рис.1б) и воздействием тележки на маятник (Рис.1в), - реакция опоры на тележку, - вес маятника, - момент инерции маятника относительно центра тяжести. Ниже использованы обозначения

, .

1.1. Линеаризованная модель [3].

Рассмотрим модель перевернутого маятника на тележке для случая когда

, . Линеаризация осуществлена в окрестности точки  и :

.                                (1)

.                                (2)

Обозначим через . Тогда (1), (2) преобразуются в

, .     (3а, 3б)

где , . Структурная схема, соответствующая (3), приведена на рис.1.

Рис.1. Структурная схема объекта

Приведем передаточные функции по двум каналам:

,  ,  (4а, 4б)

где . Первая передаточная функция легко получается из (3б), а для вывода (4б) из (3б) находим  и подставим в преобразованную формулу (3а):

.

Откуда получаем

.

Уточним параметры передаточных функций для случая, когда :

, ,

, ,

.

,

Зададим параметры объекта для случая, когда :

, , , . Тогда

, ,

, ,

, .

Перепишем передаточные функции (4) при заданных значениях параметров:

,  .  (5а, 5б)

2. СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ

2.1. Задача первая.  Поставим задачу стабилизации положения маятника в вертикальном положении () во – первых, и во – вторых, переместить тележку в заданное положение  [см англ - прототип]. При этом предполагаем доступность для измерения , , , . Один из вариантов решения задачи – взять регулятор, например, ПИД – регулятор в цепи обратной связи, и построить систему “ПИД – регулятор - объект ”, которая обеспечивает вертикальное положение маятника. Для управления положением используем также ПИД – регулятор но разместим его в прямой цепи. Для форсирования процессов по возмущению дифференциальную часть поставим в цепи обратной связи. Структурная схема системы приведена на рис.2.

                                                           

Рис.2. Структурная схема системы “объект + два ПИД – регулятора”

Примечание 1. Если бы стояла отдельная задача стабилизации положения маятника с использованием одного ПИД – регулятора в цепи обратной связи, задача существенно бы упростилась: из рис.2 следует отбросить регулятор  и два интегратора из объекта, соответствующих каналу по S. Опишем систему уравнениями

,                                               (6а)

,                               (6б)

.                 (6в)

Здесь можно трактовать как задание на положение маятника по углу , - выход регулятора , - не производная, а переменная на выходе первого интегратора объекта (совпало с обозначением производной). Подставим  из (6а) в (6б) и (6в) и, далее, (6б) в (6в):

.

После несложных преобразований получим

Допустим, желаемый характеристический полином такой усеченной системы будет задан вида , что обеспечивает переходный процесс порядка 0.5 С. Приравнивая коэффициенты двух последних выражений, получим систему уравнений:

, , ,

откуда находим параметры регулятора

, , .

Найдем передаточную функцию системы рис.2 по каналу “V-S”, для чего опишем ее уравнениями:

,                                          (7а, 7б)

, ,        (7в, 7г)

,                        (7д)

.                           (7е))

Исключим переменные  и  из системы (7), для чего подставим (7а) и (7б) в остальные уравнения:

,       (8а), (8б)

,                             (8в)

.                               (8г)

Описание системы сократилось до четырех уравнений (8а) – (8г). Сложим (8а) и (8б)

и подставим в (8г), предварительно умноженное на :

.

Перегруппируем

и умножим на :

.     (9)

Осталось исключить из (9) переменную  - если сложить (8в) и (8г), получим

.