4.6. Производные высших порядков
Частные производные функции нескольких переменных в произвольной точке множества, где они определены,
,
в свою очередь, являются функциями тех же переменных. В случае, если они дифференцируемы, можно определить, как и для функции одного аргумента, их дифференциал и частную производную. Эти дифференциалы и производные называются соответственно дифференциалами и производными высших порядков.
Определим вначале частные производные высших порядков, для простоты ограничиваясь случаем функции двух переменных. Положим по определению
.
Производные, стоящие во второй строке, называются смешанными производными.
Частные производные более высоких порядков определяются аналогично. Так, например,
.
Аналогично определяются частные производные третьего и вообще любого порядка для функции двух, трех и более переменных.
Смысл обозначения , где ясен из предыдущего.
П р и м е р ы.
1. Для функции найти производную третьего порядка
и вычислить ее значение в точке (1, 0). Последовательно
дифференцируя функцию, получаем:
; ; .
Для значения производной в точке удобней пользоваться
другим обозначением:
.
2. Находим все частные производные второго порядка функции
. Для этого найдем вначале частные производные первого
порядка:
, .
Теперь в соответствии с определением получаем:
; .
Замечаем, что смешанные производные не зависят от последовательности дифференцирования:
.
Это имеет место для всех смешанных производных функций нескольких переменных. Справедлива следующая теорема.
Теорема. Если смешанные производные непрерывны в окрестности некоторой точки, то значение их в этой точке не зависит от последовательности дифференцирования.
Несложное доказательство этой теоремы для рассмотренного здесь случая смешанных производных второго порядка предлагаем провести самостоятельно. Указание: воспользоваться формулой конечных приращений [1],[5].
4.7. Дифференциалы высших порядков
Ради простоты записи формул определение дифференциалов высших порядков приведем для функции двух переменных.
Предположим, что функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка в окрестности точки где обе координаты есть независимые переменные. Тогда полный дифференциал ее
. (4.7.1)
О п р е д е л е н и е. Полным дифференциалом второго порядка называется полный дифференциал полного дифференциала этой функции:
.
Учитывая (4.7.1), получаем
d().
Эту последнюю формулу надо понимать так, что над выражением, стоящим в скобках, надо произвести действия в соответствии с формулой (4.7.1). Выполняя эти действия, получаем:
+.
.
Имея в виду, что производные второго порядка непрерывны, пользуемся равенством смешанных частных производных (теорема п. 4.6):
.
Принимаем обозначения: . Тогда выражение для второго дифференциала принимает вид:
(4.7.2)
Точно так же определяем полный дифференциал третьего порядка:
.
При условии непрерывности частных производных третьего порядка он существует и при этом справедлива формула, аналогичная формуле (4.7.2):
(4.7.3)
В чем состоит эта аналогия? При сопоставлении формул (4.7.1), (4.7.2) и (4.7.3) замечаем, что правая часть напоминает (позволим себе этот неформальный термин) формулу бинома Ньютона соответственно для n= 1, 2, 3. Эту аналогию мы используем для лаконичной записи символической формулы, выражающей дифференциал любого порядка:
, . (4.7.4)
Таким же образом можно получить соответствующие выражения дифференциалов высших порядков функции трех и более переменных. Продолжая аналогию и применяя символические формулы, введем вектор, который помогает легко запомнить и коротко записать многие формулы дифференциального исчисления функции нескольких переменных.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.