Расчет вероятности наличия опечаток в главе книги. Определение части всех новорожденных, доживших до 60 лет. Расчет вероятности того, что телефонный номер содержит двойку

2. Вероятность того, что на странице книги имеется опечатка, равна 0,2. Какова вероятность наличия опечаток в главе, содержащей 4 страницы?

Решение

Пусть А — наличие опечаток в главе (т.е. имеется хотя бы одна опечатка). Применим формулу для вероятности хотя бы одного события:

Ответ: 0,5904.

1. Студент выучил 15 вопросов из 17. Какова вероятность того, что он знает все три вопроса, входящие в билет? Знает два из них?

Решение

Применим формулу классической вероятности. При выборе 3 объектов из 17 данных общее число исходов

а) Событие А (знает все три вопроса):   .

б) Событие В (знает два вопроса):  

Ответ:

3. Из всех новорожденных доживают до 60 лет 40% мальчиков и 65% девочек. Какая часть всех новорожденных доживет до 60 лет, если вероятность рождения мальчика равна 0,52?

Решение

Рассмотрим событие В — «новорожденный дожил до 60 лет». По условию, вероятность этого события зависит от следующих гипотез.

А₁ — новорожденный является мальчиком.

А₂ — новорожденный является девочкой.  (сумма вероятностей всех гипотез равна 1).

По условию,   

Вычислим по формуле полной вероятности:

Ответ: 49,6%.

3. Из урны, содержащей 3 красных, 5 синих и 2 белых шара, извлекли одновременно два шара. Какова вероятность того, что они — разного цвета?

Решение

Пусть событие А —«шары разного цвета», тогда противоположное событие — «шары одного цвета», то есть В₁ — «оба красные», или В₂ — «оба синие», В₃ — «оба белые». Вычислим вероятности трех последних событий:

   По формуле сложения вероятностей

Ответ:

1. Телефонный номер состоит из шести цифр (первая — не ноль). Найти вероятность того, что все цифры разные.

Решение

Применим формулу классической вероятности. Т.к. первая цифра не может быть нулем (всего 9 возможностей, а остальные 5 цифр могут быть любыми), то общее число возможных исходов .

Найдем число исходов, благоприятных для события А— «все цифры разные»:

 (первая цифра любая, кроме нуля, вторая любая, кроме первой, третья любая, кроме первой и второй, и т.д.).

Ответ: 0,1512.

1. Телефонный номер состоит из шести цифр (первая — не ноль). Найти вероятность того, что номер содержит двойку.

Решение

Применим формулу классической вероятности. Т.к. первая цифра не может быть нулем (всего 9 возможностей, а остальные 5 цифр могут быть любыми), то общее число возможных исходов .

Найдем число исходов, благоприятных для события А— «номер не содержит двойки»:

 (первая цифра любая, кроме нуля и двойки, остальные любые, кроме двойки).

Требуется найти вероятность противоположного события  — «номер содержит хотя бы одну двойку».

Ответ:

3. Что вероятнее: хотя бы 4 орла при пяти бросаниях монеты или ровно 1 орел при четырех?

Решение

Вычислим обе вероятности, применяя формулу Бернулли.

а)  

б)  

Вторая вероятность больше.

Ответ: вероятнее один орел при четырех бросаниях монеты.

1. Телефонный номер состоит из шести цифр (первая — не ноль). Найти вероятности того, что номер содержит только  цифры 1 и 2.

Решение

Применим формулу классической вероятности. Т.к. первая цифра не может быть нулем (всего 9 возможностей, а остальные 5 цифр могут быть любыми), то общее число возможных исходов .

Найдем число исходов, благоприятных для события А— «номер содержит только цифры 1 и 2»:

 (для каждой из шести цифр две возможности).

Ответ:

2. Шахматист А выигрывает у Б белыми с вероятностью 0,5, черными — с вероятностью 0,2, вероятность ничьей в обоих случаях равна 0,4. Играются две партии (со сменой цвета). Какова вероятность ничейного счета после двух партий?

Решение

Ничейный счет достигается в следующих трех случаях.

а) А выиграл первую партию (белыми) и проиграл вторую (черными). Соответствующие вероятности, по условию, равны 0,5 и 1-0,2-0,4=0,4.  Применим формулу умножения вероятностей независимых событий:.

б) А проиграл первую партию и выиграл вторую (вероятности 1-0,5-0,4=0,1 и 0,2).

в) В обеих партиях ничьи.

Применим формулу сложения вероятностей несовместных событий: искомая вероятность равна

Ответ: 0,38.

3.  Известно, что в июне бывает в среднем 30% дождливых дней, в июле — 18%, в августе — 24%. Найти вероятность дождя в произвольно выбранный летний день.

Решение

При случайном выборе летнего дня возможны три гипотезы.

А₁ — выбран день в июне. А₂ — выбран день в июле. А₃ — выбран день в августе.

Пусть событие В — дождь в выбранный день. По условию,    

Вычислим по формуле полной вероятности:  

Ответ:

1.  Какова вероятность, расставляя в случайном порядке карточки с буквами А,А,Г,М,М, получить слово ГАММА?

Решение

Применим формулу классический вероятности.

Число способов переставить 5 карточек равно

Число благоприятных перестановок равно  так как буквы А и М каждая допускают по 2 перестановки, а буква Г занимает единственное положение.

Искомая вероятность равна Ответ:

3. Из всех телевизоров, выпускаемых заводом «Изумруд», 20% — черно-белые. Известно, что гарантийный ремонт требуется каждому четвертому из черно-белых телевизоров и каждому третьему цветному. Какая часть всей продукции подлежит гарантийному ремонту?

Решение

Так как по условию вероятность гарантийного ремонта зависит от типа телевизора, то применим формулу полной вероятности. Рассмотрим 2 гипотезы:

А₁ — выбранный телевизор — черно-белый. По условию,

А₂ — выбранный телевизор — цветной.

Пусть событие В состоит в том, что выбранный телевизор потребовал гарантийного ремонта. По условию,    

Вычислим по формуле:

Ответ: