Разработка математической модели и получение оптимального режима технологического процесса при максимальном выходе продукта

1 К точкам ПФЭ 1-го порядка добавляют 2k  "звездных" точек, расположенных на координатных осях факторного пространства, на одинаковом расстоянии от центра плана

где α - "звездная" точка, а величина α - "звездное" плечо.

2 Добавляем один или несколько параллельных опытов в центре плана n₀.

Полученная матрица неортогональна, так как:

(2) (3)

Ортогонализацию столбцов х_i² между собой производим изменением количества опы­тов в центре плана (n₀). Вследствие чего изменяется длина α.

Ортогональность между столбцами x₀ и х_i² достигается с помощью преобразований квадратичных столбцов по формуле:

                                      (4)

По вышеизложенному механизму производится достройка и преобразование матрицы планирования эксперимента.

          Регрессионный анализ

Для получения математической модели процесса необходимо построить уравнение регрессии второго порядка. В связи с этим проводим регрессионный анализ по первой схеме (при наличии параллельных опытов). Основная задача регрессионного анализа сводится к получению математической моде­ли процесса, проверке адекватности полученной модели и оценке влияния каждого фактора на процесс.

Возможность получения математической модели методом регрессионного анализа оп­ределяется следующими условиями:

- точность, с которой задаются независимые переменные х_i, не являющиеся случай­ными, должна быть высокой. К точности измерения параметра оптимизации (у) предъ­являют менее жёсткие требования;

- каждая из независимых переменных не должна являться линейной комбинацией ос­тальных независимых переменных;

- интервал между значениями факторов в соседних точках не должен быть меньшим или равным ошибке, с которой задаются этим интервалом.

- значения функции отклика в точках факторного пространства должны определяться независимо друг от друга.

- в исследуемом интервале изменения факторов дисперсии должны быть однород­ными.

Для получения математической модели процесса необходимо построить уравнение регрессии второго порядка. В связи с этим проводим регрессионный анализ по первой схеме.

Первоначально вычисляем выборочное математическое ожидание:

                                                                                                     (5)

где    n- количество опытов в матрице;

y_i- значение параметра оптимизации;

Определяем  выборочную дисперсию:

                          (6)

Дисперсию воспроизводимости рассчитываем следующим образом: в любой точке плана проводим несколько параллельных опытов и по результатам этих опытов вычисляем выборочную дисперсию, которую затем и принимаем за дисперсию воспроизводимости.

                                                       (7)

,                                            (8)

где  S_bi²- дисперсия коэффициентов уравнения регрессии_i.

        n - количество опытов в матрице;

        m- количество параллельных опытов;

 х_i-факторы, влияющие на процесс.

Однородность дисперсии не проверяется.

Вычисляем коэффициенты уравнения регрессии методом наименьших квадратов по формулам:

      ;                                                         (9)

 где    b₀- коэффициент уравнения регрессии;

b_i- i-тый коэффициент уравнения регрессии;

y_i- параметр оптимизации;

х_i- факторы, влияющие на технологический процесс.

Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии по критерию Стьюдента:

,                                                                                                                         (10)

Если t_р>t_табл при α=0,05, то коэффициент b_i  значим, то есть фактор, соответствующий этому коэффициенту оказывает существенное влияние на процесс. В про­тивном случае коэффициент b_i незначим, фактор, соответствующий ему, существенного влияния на процесс не оказывает и из уравнения исключается.

Следует отметить, что значимость коэффициентов уравнения регрессии можно оценивать только в исследуемой области факторного пространства. Если фактор оказывается незначимым, то он не оказывает существенного