Машинная арифметика. Системы счисления. Правила перевода из одной системы счисления в другую. Формы представления чисел в машине. Кодирование чисел в машине. Сложение чисел в машинах с фиксированной точкой. Основные понятия об интерфейсе. Классификация интерфейсов

1. Машинная арифметика. Системы счисления. Правила перевода из одной системы счисления в другую.

Ответ:

Система счисления(далее СС) – это способ представления любого числа посредством некоторого алфавита, символы которого называются цифрами. СС делят на позиционные [1]  и непозиционные [2]. В [1] используют неограниченное количество цифр, и значение цифры не зависит от её позиции в числе (пример: римские цифры). В [2] одна и та же цифра имеет различные значения, зависящие от позиции в числе (пример: десятичные цифры). В основном, нас интересуют позиционные СС.

Базис СС <n> – есть количество знаков, которые используют для изображения чисел в данной системе. В современных вычислительных системах выделяют четыре базиса:

n = 2 ó двоичная СС [BIN, B]         ;         n = 8 ó восьмиричная СС [OCT, Q]

n = 10 ó десятичная СС [DEC, D]  ; n = 16 ó шестнадцатиричная СС [HEX, H]

Правила перевода абсолютно одинаковы.

Целые числа…………………………………………………………………………….

Из одной позиционной СС  в другую целые числа переводят делением на основание новой СС до тех пор, пока остаток не станет меньше делителя. Число записывается из остатков от деления, причём последний полученный остаток – есть старшая цифра нового числа.

Правильная дробь……………………………………………………………………….

Из одной позиционной СС  в другую правильные дроби (без целой части) переводят путём умножения исходной дроби на основание новой СС до тех пор, пока в новой дроби не будет нужного количества знаков после запятой (достижение необходимой точности).

Смешанные числа..…………………………………………………………………….

Смешанное число представляется как сумма целой части (целое число) и дробной части (правильная дробь), которые переводят по отдельности. Полученные значения составят смешанное число в новой СС.

Помимо деления на основания СС, в нек.. случаях применимы:

Перевод по триадам…………………………………………………………………………

Применим для перевода из OCT в BIN и наоборот. Состоит, в первом случае, в переводе OCT-числа по одной цифре в BIN-триады (трёхсимвольные числа), с сохранением их позиции в числе. Для обратного перевода производит деление на триады, начиная с младших разрядов. Если разрядов недостаточно, в последней триаде приписывают нули (полное число триад - 8).

Перевод по тетрадам……………………………………………………………………..

Применим для перевода из HEX в BIN и наоборот. Всё то же самое, только символов в комбинации станет четыре (полное число тетрад - 16).

Полиноминальный перевод……………….…[перевод из любой СС в DEC!]……

Число расписывают как полином, а затем проводят арифметические операции:

10011100B = 1·2⁷+0·2⁶+0·2⁵+1·2⁴+1·2³+1·2²+0·2¹+0·2⁰ = 128+16+8+4 = 156D

234Q = 2·8²+3·8¹+4·8⁰ = 2·64 + 3·8 + 4·1 = 128 + 24 + 4 = 156D

9СH = 9·16¹ + C·16⁰ = {C ó 12} = 9·16 + 12·1 = 144 + 12 = 156D

С дробью: 1001,11B = 1·2³+0·2²+0·2¹+1·2⁰+1·2^-1+1·2^-2=8+1+0,5+0,25 = 9,75D

2. Машинная арифметика. Формы представления чисел в машине. Кодирование чисел в машине. Прямой, обратный и дополнительный коды.

Ответ:

Для кодирования чисел в ЭВМ применяют прямой, обратный и дополнительный коды числа.

Образование прямого кода………………………………………………………………...

К двоичному представлению числа добавляется знаковый разряд. Для отрица-тельных знак кодируется как «1», для положительных – как «0». Пример:

                 8D = 1000B ó 01000 п         ;           (-8)D = - 1000B ó 11000 п.

Образование обратного кода числа………………………………………………………

Обратный код получают из прямого инверсией всех разрядов, кроме знакового:

            8D ó 01000 п  ó 00111 о         ;           (-8)D ó 11000 п ó 10111 о.

Образование дополнительного кода числа……………………………………………

Дополнительный код – из обратного, добавлением 1 к младшему разряду:

            8D ó 00111 о ó 01000 д          ;           (-8)D ó 10111 о ó 11000 д.

Последние два кода применяют для представления отрицательных чисел при выполнении арифметических операций над ними.

Формы представления чисел в ЭВМ……………………………………………………..

В зависимости от назначения ЭВМ, в них используют две формы представления: естественную [1] и нормальную [2]. При [1], запятая имеет фиксированное положение и разделяет целую и дробную части (то есть, это та форма, к которой мы привыкли, рис. слева). При [2], имеет место число с плавающей точкой (рис. справа). В ЭВМ длина представ-ляемого числа опреде-лена разрядностью сетки. Пусть для числа отведено 9 разрядов (см рис.). В этом случае, диапазоном чисел, которые могут быть вписаны в сетку, ориентированную на [1], является [-999,99999;+999,99999]. В то же самое время, для [2], этот диапазон [-0,99999·10^-99;+0,99999·10⁺⁹⁹]. При таком представлении, как видно, повышена точность отображаемых данных и вычислений, однако для представления чисел в [1] требуется не столь сложная аппаратура.

Число с плавающей точкой в общем виде……………………………………………

3. Машинная арифметика. Сложение чисел в машинах с фиксированной точкой.

Ответ:

При сложении операндов (A₁ и A₂) с фиксированной точкой возможно 4 варианта:

1. A₁ > 0 и A₂ > 0. Вывод: Σ > 0. (здесь и далее, Σ = A₁ + A₂)………………………………………….

Пусть A1 = 21D и A2 = 5D. Тогда в прямых кодах: A1 = 010101 и A2 = 0101. Уравновесим разрядные сетки, для этого достаточно записать A2 = 000101. Тогда сумма данных чисел может быть получена по законам Булевой алгебры, и составит Σ = 011010 ó 26D.

2. A₁ > 0, A₂ < 0 и |A₁| > |A₂|. Вывод: Σ > 0…………………….………………………………………….

Пусть A1 = 21D и A2 = -5D. Тогда в прямых кодах: A1 = 010101 и A2 = 100101. Тогда сумма данных чисел может быть получена по законам Булевой