Аппроксимирование функции многочленом по методу наименьших квадратов. Интерполирование функций

Лабораторная работа №1

Аппроксимирование функции многочленом

Тема работы: “Интерполирование функций”

Для решения задачи интерполирования функции алгебраическим многочленом в системе MATLAB предназначены функции polyfit() (POLYnomial FITing – аппроксимация многочленом) и polyval() (POLYnomial VALue – значение многочлена).

Функция polyfit(x,y,n) находит коэффициенты многочлена Q(x) степени n, аппроксимирующего функцию y(x) по методу наименьших квадратов. Если число элементов векторов x и y равно n+1, то функция polyfit(x,y,n) решает задачу интерполирования многочленом степени n.

Функция polyval(P,z) вычисляет значения  полинома, коэффициенты которого являются элементами вектора P, от аргумента z. Если z вектор или матрица, то многочлен вычисляется во всех точках z.

Пример решения задачи интерполирования:

Функция задана таблицей своих значений.

Построить интерполяционные многочлены степени 2 и 3, записать многочлены в канонической форме и построить их графики.

Протокол программы:

x=[0 1 2 3]                               % исходные

y=[1.0 1.8 2.2 1.4]                   % данные

P2=polyfit(x(1:3),y(1:3),2)     %  Коэффициенты интерполяционного многочлена

                                                %            второй степени

P3= polyfit(x(1:4),y(1:4),3)     %  Коэффициенты интерполяционного многочлена

                                                %            третьей степени

% по результатам можно записать многочлены в каноническом виде.

% Для построения графиков необходимо задать векторы x1 и x2, моделирующие

% интервалы [0, 2] и[0, 3], и вычислить значения многочленов для элементов этих

%  векторов.

x1=0:0.05:2;

y1=polyval(P2,x1);

x2=0:0.05:3;

y2=polyval(P3,x2);

plot(x,y,'ok',x1,y1,'r',x1,y2,'--b'); grid

Функция  plot() строит табличные значения функции черными кружочками, графики многочленов красной линией – второй степени, синей пунктирной линией – третьей степени.

Тема работы: “Аппроксимирование функции многочленом по методу наименьших квадратов”

 В системе MatLAB построить аппроксимирующий многочлен степени 2 для заданной функции f(x) методом наименьших квадратов на отрезке [a,b].

     а) y=f(x) = sin(x/k)                                               б) y=f(x) = cos(x/k)

         [a,b] = [0, k*pi]                                                  [-pi*k/2, pi*k/2]

Порядок выполнения:

1.  Задать вектор значений переменной  x, от a до b с шагом pi*k/16

2.  Вычислить значения функции f(x) в этих точках (вектор  y)

3.  Найти элементы (s_i) матрицы нормальной системы метода наименьших квадратов (S)

4.  Найти элементы (t_i) вектора правых частей (t) нормальной системы метода наименьших квадратов

5.  Составить матрицу системы (S) и вектор правых частей (t)

6.  Решить полученную систему (S*a = t), т.е. найти коэффициенты (a_i) аппроксимирующего многочлена Q(x)

7.  Построить аппроксимирующий многочлен (Q)

8.  Построить графики y и Q на [a,b] на одном рисунке

9.  Найти коэффициенты аппроксимирующего многочлена с помощью оператора polyfit(). Сравнить результаты.

Список функций и операторов MatLAB, полезных при выполнении работы:

A= – оператор присваивания значения (A – скалярная величина, вектор или матрица);

sum(V) – производит суммирование элементов вектора V;

length(x) – функция вычисляет длину (количество элементов) вектора x

A.^p – возведение в p –ю  степень элементов вектора A;

A.*B – поэлементное умножение вектора А на вектор B, в результате получается вектор, элементы которого равны произведениям соответствующих элементов векторов;

‘\’ – деление справа налево, A\B = inv(A)*B.

A’  –  операция транспонирования вектора A;

A(k) – взятие k-го элемента вектора A;

polyfit(x,y,n) – оператор находит коэффициенты многочлена Q(x) степени n, аппроксимирующего y(x) по методу наименьших квадратов

clc – очищает командное окно от предыдущих результатов.