Лабораторная работа МК-4
Исследование колебаний маятника на пружине, обладающей продольной и крутильной жесткостью, изучение явления биений при сложении колебаний с близкими частотами в системе с двумя степенями свободы, опытное определение периода биений.
Изучите теоретический материал по учебникам [1–3]: колебательное движение, степени свободы механических систем, биения при сложении колебаний с близкими частотами. Изучите также разделы 3 и 6 методического описания и подготовьте ответы на вопросы раздела 4. Ознакомьтесь с конструкцией лабораторного стенда и принципом измерений по методическому описанию. Подготовьте конспект для допуска к лабораторной работе и потренируйтесь отвечать на вопросы обучающего и контрольного тестов на CD.
Числом степеней свободы механической системы называется число
независимых величин, с помощью которых может быть задано положение системы. Например,
положение в пространстве материальной точки определяется тремя ее координатами
(три степени свободы), положение абсолютно твердого тела определяется тремя координатами
центра масс и тремя углами поворота относительно заданных осей координат (шесть
степеней свободы). Рассмотрим основные особенности поведения системы с двумя
степенями свободы на простом примере двух грузов, связанных пружинами (рис. 1).
Смоделируем грузы материальными точками. Положение такой системы задается всего
лишь двумя величинами xaи xb отклонений грузов от положений
равновесия. На каждый груз действует по две силы упругих деформаций пружин. Сила,
действующая со стороны средней пружины на груз a, противоположна по направлению силе, действующей со стороны
средней пружины на груз b. Поэтому,
уравнения динамики движения грузов имеют вид
(1)
Для упрощения расчетов примем, что в начальный момент времени один из грузов был отклонен на расстояние x0 от положения равновесия, другой находился в положении равновесия и скорости обоих грузов были равны нулю. В результате решения этой системы взаимосвязанных дифференциальных уравнений получим
(2)
где 
. (3)
Предположим, что пружина между грузами очень слабая по сравнению с внешними пружинами (слабая связь между степенями свободы, что имеет место в лабораторной установке «Маятник Уилберфорса»). Тогда частоты ω1 и ω2 становятся приблизительно равными
.
Введем обозначения 
где ωср — средняя частота, мало отличающаяся от частот ω1 и ω2; Δω << ω1 ≈ ω2.
Запишем уравнения (2) в виде
(4)
Анализ этих уравнений позволяет сделать вывод, что оба груза совершают колебательные движения с медленно меняющимися по гармоническому закону амплитудами. Такие колебания называются биениями.
1. Дайте определение числа степеней свободы механической системы. Приведите примеры систем с одной, двумя, тремя степенями свободы. Какими степенями свободы обладает изучаемая в настоящей работе система?
2. При каких условиях возникают биения?
3. Запишите математически и изобразите графически зависимость амплитуды биений от времени. Опишите характер движения груза на пружине в режиме биений.
4. От каких параметров системы зависят периоды продольных и крутильных колебаний груза на пружине? Почему период продольных колебаний не изменяется при смещении гаек по спицам?
5. Каким образом можно изменять период крутильных колебаний в лабораторной установке?
6. Запишите математически зависимость периода биений от периода крутильных колебаний. В каких переменных следует построить эту зависимость, чтобы она была прямолинейной?
7. Объясните, каким образом получается калибровочная зависимость периода крутильных колебаний от расстояний l от оси цилиндра до гаек?
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн. I. М.: Наука, 1998 г.
2. Савельев И.В. Курс физики. Т. I. М.: Наука, 1989 г.
3. Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 1990 г.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.