Электротехника \ Электропреобразовательные устройства

Математическое моделирование и краткое описание основных расчетных программ, страница 2

Далее следует присвоение элементам системы свойств тех или иных материалов, задаются граничные условия, способ возбуждения, режим работы (решение в одной частотной точке или диапазоне частот).

Следующий этап – построение конечно-элементной сетки накрывающей расчётную область. Сетка должна при минимальном количестве элементов обеспечить достаточно точную аппроксимацию формы всех элементов модели. Для этого используют нерегулярные сетки, шаг которых меняется в зависимости от формы и размеров объектов. От качества сетки во многом зависит время решения и точность получаемых результатов. В большинстве систем моделирования используют адаптивные сетки, когда после первого решения на сравнительно грубой сетке определяются участки области, где погрешность решения максимальна, и в них строится более частая сетка.

После построения сетки становится возможным построение глобальной матрицы. Эту функцию выполняет дискретизатор. В этом модуле программы производится вычисление локальных матриц всех конечных элементов, учёт граничных условий, объединение локальных матриц в глобальную.

Решение матричной задачи выполняется специальным вычислительным модулем (солвером). Этот процесс занимает наибольшее количество времени.

Постпроцессор выполняет обработку результатов решения матричной задачи – восстанавливает электромагнитное поле во всех точках расчётной области. Знание электромагнитного поля позволяет определить параметры и характеристики системы.

3.2 Программа расчета электронно-оптической системы «Антра»

Для расчета статического электронного луча от катода до коллектора используется программа «Антра», разработанная на кафедре радиотехнической электроники ЛЭТИ. Программа предназначена для решения двухмерных задач в декартовой или цилиндрической системах координат. Она позволяет рассчитывать свойства потоков заряженных частиц в статических электрическом и магнитном полях с учетом пространственного заряда.

Программа «Антра» позволяет по заданным потенциалам, геометрии электродов и осевому распределению магнитного поля вычислять траектории заряженных частиц на всей длине прибора от катода до коллектора, параметры потока частиц – первеанс, распределение плотности тока луча, скоростей частиц и объемной плотности заряда по сечению пучка.

В основу программы положен метод конечных разностей. Суть метода состоит в замене дифференциального уравнения соответствующим ему уравнением в конечных разностях, которое получается заменой производных их приближенными выражениями через конечные разности. В данном случае решается уравнение Пуассона:

Для расчёта поля, область, в которой ищется решение, покрывается квадратной сеткой. Для каждого узла лежащего внутри рассматриваемой области, составляется разностное уравнение, связывающее потенциал данного узла и четырёх прилежащих к нему других узлов сетки. При этом узлам, совпадающим с границей области, приписывается фиксированное значение потенциала, равные потенциалам соответствующих точек границы.

Конечно – разностные уравнения, написанные для узловых точек сетки, образуют систему линейных алгебраических уравнений, число которых равно числу неизвестных. Таким образом, решение краевой задачи сводится к решению системы алгебраических уравнений. При этом граничные условия участвуют в решении через значение потенциалов граничных узлов.

Для уменьшения погрешности, связанной с заменой дифференциального уравнения разностными, необходимо уменьшить шаг сетки, что означает увеличение числа узлов и, соответственно, увеличение порядка систему уравнений. В расчётах число узлов может достигать нескольких тысяч, вследствие чего непосредственное решение системы уравнений оказывается невозможным и для решения используется метод последовательных приближений, иначе называемый методом итераций.

Метод итераций заключается в следующем: в качестве полей первого приближения берутся поля без учёта собственных полей потока частиц. Эти поля используются для расчёта траекторий первого приближения. Поля и траектории второго приближения рассчитываются с учётом (приближенным) собственных полей потока частиц. Процесс последовательных приближений продолжается до тех пор, пока результаты последующего n – го приближения не будут достаточно близки к результатам предыдущего(n–1) – го приближения. В качестве критерия сходимости процесса служат координаты и углы наклона траекторий частиц в некоторой выбранной плоскости анализируемой системы. В тех случаях, когда процесс последовательных приближений сходится, для получения конечного результата с необходимой для практики точностью обычно требуется 5–10 приближений.

Скачать файл