Метод Хартрифока. Обратное пространство. Пространство волнового вектора

Лекция 7

Идеология приведения к одночастичной задачи называется метод Хартрифока.

Берем одномерный кристалл, или одно направление в кристалле. В этом случае мы знаем что: задача изотропна, задача сферически симметрична, т.е. не зависит от направления.

Между частицами действует закон Кулона. Нарисовав такую картину ищем что происходит в результате взаимодействия, электронов принадлежащих двум соседним атомам.

Волновая функция Блоха является решением уравнения Шредингера для периодически повторяющихся потенциальных барьеров прямоугольной формы. Найдем еще значение для свободной частицы:

Энергий свободной частицы мы видим что это парабола, кривизна парабола маленькая, а радиус кривизны большой. Откладываем на положительном и отрицательном направлениях вектор трансляции равный , и от них проводим вертикальные линии вверх. Существует понятие мощность потенциального барьера она равна произведению на ширину барьера А. Есть два частных случая, когда мощность потенциального барьера стремиться к нулю, это свободная частица и мощность потенциального барьера стремиться в бесконечность это связанная частица. Если то за счет туннельного эффекта происходит передача этой волновой функции. По мере приближения к волновому вектору , происходит явление Брэковское отражение волн от атомов плоскостей.

Электронная волна – волна вероятности. Электрон это квант электронной волны, это квази частица. Электронные волны взаимодействуют с ионами в узлах решетки и отражаются. Падающие и отраженные электронные волны образуют стоячие волны. Ее скорость состоит из фазовой и групповой. Фазовая скорость это скорость точек в одной фазе. Когда говорят о группе волн то говорят о групповой скорости.

-фазовая скорость

-групповая скорость

где К – волновое число и равно  , а - частота колебаний

для стоячей волны групповая скорость должна быть равна нулю, а следовательно производная имеет экстремум.

Решение уравнения Шредингера рассматривается на метод слабой связи и метод сильной связи.

Вывод:

1.  Зависимость Е(к) имеет разрывы функции. Разрывы функции при .В зависимости Е(к) делится на зоны разрешенных состояний и зоны неразрешенных. Е(к) представляет энергетический спектр, с чередованием разрешенных и запрещенных зон чередования. Запрещенные зоны иначе называются щели. Физический смысл щелей в энергетическом спектре говорит о том, что электронные волны, с соответствующими волновыми значениями, могут распространяться по кристаллу, они затухают. Зоны разрешенных состояний как раз такие электронные волны, с такими волновыми векторами могут иметь место.

Зона Бриллюэна

Это зона периодических значений волнового вектора К. При S=1 мы будем иметь первую зону Бриллюэна , вторая зона это область от  на положительном направлении, и вторая зона включает первую, следовательно размер второй зоны такой же как первый. Все зоны Бриллюэна имеют одинаковые размеры . Каждому состоянию Бриллюэна соответствует разрешенному состоянию для электронных волн.

Обратное пространство. Пространство волнового вектора

Электронная волна . Любая частица создается своей обобщенной координатой q, и импульсом р. Координаты q представляют собой прямое, координатное пространство, а то, в котором откладывается импульс, называется импульсным пространством, и по размерности оно представляет собой обратное пространство. В прямом пространстве мы имеем три базисных вектора a,b,c, так же знаем углы между ними , и таким образом задаем прямую решетку. Элементарная ячейка обратного пространства, будет строиться на базисных векторах обратного пространства. Переход от прямого к обратному пространству:

 введем вектор трансляции в обратном пространстве

где

.

Элементарная ячейка обратного пространства

Базисные векторы а и b. Выбираем узел 0. Выберем ближайшие к этому узлу, пересечения лежащие вокруг. Теперь соединяем узел 0 отрезком с узлом 1, после этого этот отрезок делим пополам и проводим через середину прямую перпендикулярному этому отрезку. Эту процедуру повторяем для всех ближайших выбранных к этому узлу узлов. И получаем площадь, ограниченную шестиугольником.

Приведенная зона Бриллюэна

Периодически повторяющееся обратное пространство. В этом пространстве есть элементарные ячейки – это и есть зоны Бриллюэна. Но раз все повторяется, значит, все, что выходит за пределы первой зоны, во вторую  и в третью, можно привести в первую зону.