Исследование динамики гармонических колебаний в поле силы тяжести

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ»

кафедра физики

ИССЛЕДОВАНИЕ

ДИНАМИКИ ГАРМОНИЧСКИХ КОЛЕБАНИЙ

В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

Лабораторная работа № 2

Санкт-Петербург, 2004

РАБОТА 2

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

Цель работы: изучение закономерностей колебательного движения тела в однородном силовом поле; исследование процессов превращения энергии в консервативных системах; определение ускорения свободного падения.

Приборы и принадлежности: оборотный маятник; секундомер; масштабная линейка, чертежный треугольник.

Конструкция оборотного маятника представлена на рис. 1. На стержне 1 закреплены два диска – D₁ и D₂. Маятник может быть подвешен на кронштейне с помощью легких призм P₀, P₁, P₂, трение в которых пренебрежимо мало. Призма P₀ является основной и определяет положение оси вращения, маятник при этом качается с периодом Т₀. Положения призм P₁ и P₂ подобраны таким образом, что при подвешивании маятника на этих призмах для периодов его качаний выполняется соотношение

.

Исследуемые закономерности.

Физический маятник. Тело, способное вращаться вокруг оси, проходящей выше его центра масс, совершает в поле тяготения гармонические колебания подобно математическому маятнику.  В отличие от математического маятника качающееся тело произвольной формы называют физическим маятником. Выражение, определяющее период колебаний математического маятника,

 ,                                                               (1)

где l – длина подвеса математического маятника, g – ускорение свободного падения, оказывается справедливым для тела любой формы, поскольку для каждого тела, совершающего колебания в поле тяготения, можно найти математический маятник с таким же значением периода колебаний. В этом случае в выражении (1) используется приведенная длина физического маятника l_пр,  - величина, значение которой определяется распределением масс тела и взаимным расположением центра масс и оси вращения. Таким образом, для любого тела

.                                                             (2)

При небольших углах отклонения качающегося тела от положения равновесия справедливо выражение

,                                                        (3)

где Ф_m – наибольший угол отклонения (амплитуда колебаний), а период колебаний Т определяется выражением (2).

Следовательно, качающееся тело произвольной формы можно представить математическим маятником, масса которого сосредоточена в точке, расположенной на расстоянии l_пр от оси вращения. Эта точка называется центром качаний. Для центра качаний линейная скорость v и тангенциальное ускорение a_t легко определяются как, соответственно, первая и вторая производные по времени от (3), т.е.

,                                                (4)

,                                                (5)

Сосредоточив, условно, массу тела произвольной формы в центре качаний, можно наиболее простым образом провести анализ движения тела. В частности, из (4) и (5) получаются  выражения, определяющие мгновенные значения кинетической и потенциальной энергии физического маятника

,                                     (6)

,                                     (7)

Сложив выражения (6) и (7), делаем вывод о консервативном характере сил, действующих на качающееся тело. Действительно, полная энергия тела не зависит от времени, т.е. сохраняется.

Таким образом, математический маятник служит моделью любого тела, совершающего колебательное движение в поле тяготения около неподвижной оси. Формула (1) выражает универсальную закономерность, заключающуюся в том, что в поле тяготения период колебательного движения любого тела не зависит непосредственно от массы тела, а определяется исключительно значением ускорения свободного падения и характерным параметром, имеющим размерность длины. 

Измерение ускорения свободного падения. Тот факт, что движение качающегося тела произвольной формы можно описать движением математического маятника соответствующей длины, позволяет провести измерение ускорения свободного падения. В принципе для этого достаточно знать приведенную длину маятника и измерить период его колебаний.

В данной работе используется иной способ, основанный на следующем свойстве центра качаний маятника, - если ось вращения перенести в центр качаний (обратить маятник), то период колебаний маятника не изменится. Называя в дальнейшем используемый в работе маятник оборотным, проведем обоснование методики измерений ускорения свободного падения.

Расстояние между осью вращения и центром качания l₀ = l_пр  и определяет основной период колебания T₀. Периоды колебаний маятника при подвешивании за призмы P₁ и P₂, соответственно, – T₁ и T₂ . Тогда периоды колебаний маятника при подвешивании за различные призмы могут быть рассчитаны как:

,    (8)          ,   (9)                 .      (10)