Анализ переходных процессов в разветвленных цепях 1 порядка. Свободный процесс в последовательном RLC-контуре. Метод переменных состояния для анализа переходных процессов в цепях высокого порядка и его преимущества

23 Анализ переходных процессов в развлетвленных цепях 1 порядка.

Если в цепи только 1 реактивный элемент L/C а остальные R  и источники

 – то цепь 1 порядка. Анализ такой цепи можно провести без получения в

явном виде диф. у-ра и все компоненты решения можно найти из цепи.

 

Опр i1(t) i2(t) i3(t)

1)Опр незав нач усл Uc(0-)

t<0 докомутационный установившийся режим

I2=C*dUc/dt=0 при Uc=const.

Uc(0-)=i3(0-)*R2=U0*R2/(R1+R2+R3)

2)Решение для t>0  i1(t)=i1вын+i1св

i1(t)=i1вын+A*e^(p*t)  Опр i1вын

1вын=i1уст т.к. воздействие U0=const

I1уст=i2уст=U0/(R1+R2)

I1(t)= U0/(R1+R2)+ A*e^(-t/тау)

цепь в свободном режиме

Rэкв=(R1*R2)/(R1+R2)

Тау=Rэкв*С  тау=(R1*R2*C)/(R1+R2)

-p=(R1+R2)/(R1*R2*C)

Опр А?   i1(0+)=Uo/(R1+R2)+A; t=0+

Uc(0+)=Uc(0-)

I1(0+)*R1+Uc(0+)-Uo=0

I1(0+) =(Uo-Uc(0+))/R1  A=i1(0+)-Uo/(R1+R2)

R1*i1+R2*i2=Uo; i3=(Uo-R1*i1)/R2

I2=i1-i3.

24 Свободный процесс в последовательном RLC- контуре

(Случай колебательного режима) декремент затухания.

Uc(O-)!=0 полярность на рис

t>0 Опр i(t),Ur(t),U1(t),Uc(t)

Uc(0-)=-Uco

UR+UL+Uc=0; R*i+L*di/dt+1/cSidt=0

(S-интеграл)

d^2i/dt^2 + (R*di)/(L*dt) + i/(L*C)=0

Решение Ур-я 1)независ нач усл  iL(0-)=0; Uc(0-)=-Uco

2)i(t)=iвын+iсв=iсв

Iсв=A1*e^(p1*t) +A2*e^(p2*t)  (p1!=p2)

Хар-е ур-е: p^2+(R*p)/L+1/(L*C)=0

p1,2= -R/(2*L) ± ((R/(2*L))^2 -1/(L*C))^1/2

R/(2*L)=α   1/(L-C)^1/2=ω-резонансная частота

p1,2=-α ± (α^2- ω^2)^1/2

i(0+)=A1+A2   (1)  di/dt=i`(t)=p1*A1*e^(p1*t)+p2*A2*e(p2*t)

i`(0+)=p1*A1+p2*A2  (2)

система: А1+A2=i(0+), p1A1+p2A2=i`(0)

Опр i(0+) и i`(0+); i(0+)=i(0-) т.к. это ток через L

Ri+L*di/dt+Uc(t)=0    di/dt=-R*i(t)/L-Uc(t)/L

i`(0+)=-R*i(0+)/L-Uc(0+)/L=Uco/L

система:A1+A2=0, p1A1+p2A2=Uco/L

(p1-p2)A1=Uco/L  A1=Uco/(L*(p1-p2))

Процесс в цепи зависит от значений корней хар-кого Ур-я.

Колебательный режим

α < ω  R<2*(L/C)^1/2 

корни комплексные

p1=- α+( ω^2- α^2)^1/2=- α+j* ωd

p2=- α-( ω^2- α^2)^1/2=- α-j* ωd

A1=Uco/L*(p1-p2); A2=-A1=Uco/L(p1-p2)

A1=Uco/(L(-α+j* ωd+ α+j* ωd)= Uco/(L*2* j* ωd)

i(t)= Uco/(2* j* ωd*L)*e^(- α+j* ωd)- Uco/(2* j* ωd*L)*e^(- α-j* ωd)=

Uco/(2* j* ωd*L)*e^( -α*t) * (e^(j* ωd*t)- e^(-j* ωd*t))=

Uco/(ωd*L) * e^( -α*t) * sin (ωd*t)

τ= 1/α    Td=2π/ωd

В RLC-контуре сопровождается потерей энергии,

Что приводит к затуханию. При этом вводится понятие

Декремент затухания Δ.

Δ=i(t)/i(t+Td)=e^( α*Td) – не зависит от времени.

 

 

 

 

 

 

 

25 Свободный процесс в последовательном RLC- контуре

(Случай апериодитеского режима)

Uc(O-)!=0 полярность на рис

t>0 Опр i(t),Ur(t),U1(t),Uc(t)

Uc(0-)=-Uco

UR+UL+Uc=0; R*i+L*di/dt+1/cSidt=0

(S-интеграл)

d^2i/dt^2 + (R*di)/(L*dt) + i/(L*C)=0

Решение Ур-я 1)независ нач усл  iL(0-)=0; Uc(0-)=-Uco

2)i(t)=iвын+iсв=iсв

Iсв=A1*e^(p1*t) +A2*e^(p2*t)  (p1!=p2)

Хар-е ур-е: p^2+(R*p)/L+1/(L*C)=0

p1,2= -R/(2*L) ± ((R/(2*L))^2 -1/(L*C))^1/2

R/(2*L)=α   1/(L-C)^1/2=ω-резонансная частота

p1,2=-α ± (α^2- ω^2)^1/2

i(0+)=A1+A2   (1)  di/dt=i`(t)=p1*A1*e^(p1*t)+p2*A2*e(p2*t)

i`(0+)=p1*A1+p2*A2  (2)

система: А1+A2=i(0+), p1A1+p2A2=i`(0)

Опр i(0+) и i`(0+); i(0+)=i(0-) т.к. это ток через L

Ri+L*di/dt+Uc(t)=0    di/dt=-R*i(t)/L-Uc(t)/L

i`(0+)=-R*i(0+)/L-Uc(0+)/L=Uco/L

система:A1+A2=0, p1A1+p2A2=Uco/L

(p1-p2)A1=Uco/L  A1=Uco/(L*(p1-p2))

Процесс в цепи зависит от значений корней хар-кого Ур-я.

Апериодический режим

α > ω  R>2*(L/C)^1/2 

вещественные не равные корни

p1=- α+( ω^2- α^2)^1/2= -α+β =- α1

p2=- α-( ω^2- α^2)^1/2=- α- β =- α2

A1=Uco/(-α+β+α+β)= Uco/ 2Lβ; A2=- Uco/ 2Lβ

i(t)= Uco/ 2Lβ *e^(- α1*t)  - Uco/ 2Lβ *e^(- α2*t)

| α2|>| α1| ; τ= 1/α1      τ2= 1/α2    τ1> τ2  

26 Свободный процесс в последовательном RLC- контуре

(Случай критического режима) декремент затухания.

Uc(O-)!=0 полярность на рис

t>0 Опр i(t),Ur(t),U1(t),Uc(t)

Uc(0-)=-Uco

UR+UL+Uc=0; R*i+L*di/dt+1/cSidt=0

(S-интеграл)

d^2i/dt^2 + (R*di)/(L*dt) + i/(L*C)=0

Решение Ур-я 1)независ нач усл  iL(0-)=0; Uc(0-)=-Uco

2)i(t)=iвын+iсв=iсв

Iсв=A1*e^(p1*t) +A2*e^(p2*t)  (p1!=p2)

Хар-е ур-е: p^2+(R*p)/L+1/(L*C)=0

p1,2= -R/(2*L) ± ((R/(2*L))^2 -1/(L*C))^1/2

R/(2*L)=α   1/(L-C)^1/2=ω-резонансная частота

p1,2=-α ± (α^2- ω^2)^1/2

i(0+)=A1+A2   (1)  di/dt=i`(t)=p1*A1*e^(p1*t)+p2*A2*e(p2*t)

i`(0+)=p1*A1+p2*A2  (2)

система: А1+A2=i(0+), p1A1+p2A2=i`(0)

Опр i(0+) и i`(0+); i(0+)=i(0-) т.к. это ток через L

Ri+L*di/dt+Uc(t)=0    di/dt=-R*i(t)/L-Uc(t)/L

i`(0+)=-R*i(0+)/L-Uc(0+)/L=Uco/L

система:A1+A2=0, p1A1+p2A2=Uco/L

(p1-p2)A1=Uco/L  A1=Uco/(L*(p1-p2))