Методы аппроксимации производственных возможностей

15.5. Методы аппроксимации производственных возможностей

Другой подход к согласованию решений в системе моделей, основанный на агрегировании информации при ее движении с нижних уровней системы и детализации в обратном направлении, связан с аппроксимацией множества производственных возможностей. Центральной идеей этого подхода является передача вышестоящему уровню информации о возможностях подсистем в относительно узкой области — окрестности предполагаемого оптимума. Комбинирование различных способов аппроксимации производственных возможностей объектов разного уровня позволяет построить систему моделей многоступенчатой оптимизации, последовательно реализующую принцип обратимого сжатия экономической информации [16][1].

Производственные возможности любого хозяйственного объекта (предприятия, отрасли, народного хозяйства в целом) могут приближенно описываться двумя способами: построением выпуклого многогранника и заданием аппроксимирующей гиперплоскости.

При аппроксимации с помощью выпуклого многогранника объект может быть представлен в виде:

,                    (15.27)

Здесь z — вектор продукции (положительные компоненты) и затрат (отрицательные компоненты) ; a^l— опорные планы развития и функционирования объекта, выбранные некоторым способом в аппроксимируемой области;— интенсивность использования l-го опорного плана.

Эквивалентная матричная запись условий (15.27) имеет вид:

,              (15.28)

где А — матрица опорных планов, x — вектор интенсивностей их использования (внутренних переменных хозяйственного объекта), е — вектор, все компоненты которого равны единице.

Совместное функционирование объектов описывается вектором  , где каждый z^k задается условием (15.27) или (15.28).

Варианты функционирования объекта определяются критерием оптимальности f(z) и внешними условиями, задающими его взаимосвязи с другими объектами экономической системы (ресурсные ограничения и т.д.). В общем виде эти условия можно записать как z ³ b. Положительные компоненты вектора z отражают задания объекту по выпуску конечной продукции, отрицательные - выделенные ему ресурсы; нулевые компоненты относятся к условиям, описывающим производство и использование промежуточной продукции.

Сделанные предположения позволяют сформулировать модель объекта, включающую аппроксимацию его производственных возможностей:

f(z)—> max;

z ³ b(15.29)

,

Варьируя параметры модели (15.29), можно получить совокупность локально-оптимальных планов z^sи на их основе уточнить аппроксимацию производственных возможностей (15.27) в окрестности предполагаемого оптимума

,           (15.30)

заменяя условиями (15.30) соотношения (15.26). Будем далее предполагать, что аппроксимация (15.27) описывает производственные возможности в окрестности оптимального варианта его развития.

Второй способ аппроксимации — построение в окрестности ожидаемого оптимума одного уравнения (аппроксимирующей гиперплоскости) с точным равенством для оптимального плана задачи (15.29).

Основные этапы построения такой гиперплоскости состоят в следующем. Пусть z° - оптимальный план объекта (задачи (15.29)), v° -оптимальные оценки внешних условий (z ³ b). Если вектор z= z° + Dz (при малых Dz) допустим в задаче (15.29) , то очевидно Df = f(z) - f(z°) £ 0. Рассматривая же Dz как параметр задачи (15.29), изменение ее критерия можно оценить как Df = v°Dz, откуда v° (z - z°) £ 0, и, переходя к нормированным оценкам , имеем в окрестности z° уравнение гиперплоскости

hz £ 1              (15.31)

Очевидно, что для оптимального плана z° условие (15.31) выполняется как равенство.

Аппроксимация (15.31) показывает, что в окрестности оптимального плана допустимы изменения структуры выпускаемой продукции (или ресурсов), но только такие, при которых сохраняется неравенство hz £ 1, т.е. при которых замена одних видов продукции другими производится в соответствии с коэффициентами производственной взаимозаменяемости h.

Использование аппроксимации (15.31) позволяет перейти к агрегированному описанию объекта введением обобщенного продукта Z = = hzи одним линейным ограничением  z£ 1.

Распространяя процедуру агрегирования на параметры внешних условий b, В = hb, можно сформулировать исходную задачу развития объекта в агрегированных показателях:

B£ Z£ 1.     (15.32)

Здесь  — критерий оптимальности модели объекта (15.29), переформулированный в агрегированных показателях. В задаче (15.32) отсутствует информация о возможных изменениях структуры агрегированных показателей. Поэтому операторы дезагрегирования двойственных оптимальных решений задачи (15.32) определяются в предположении сохранения прежней структуры выпуска и оптимальных цен:

                                                          (15.33)

Основное свойство введенных процедур дезагрегирования состоит в том, что детализированные планы , определенные в соответствии с (15.33), сохраняют уровень стоимостной оценки агрегированного решения :

Наиболее последовательно методы аппроксимации производственных возможностей используются в системе моделей многоступенчатой оптимизации, отражающей основные черты оптимального планирования производственно-технологической структуры экономики. Построенная на этих идеях экспериментальная многоступенчатая народнохозяйственная модель объединяет три уровня производственной иерархии: предприятие — отрасль — народное хозяйство. Модель имеет следующий вид:

и(х)—► max;

;

                                                                    (15.34)

Здесь и(x) — народнохозяйственный критерий оптимальности; А^kl — матрица опорных планов l-го предприятия k-й отрасли; х^kl— допустимый план предприятия, рассматриваемый как комбинация опорных планов;  план k-й отрасли, составленный в детализированной номенклатуре: — народнохозяйственный план в детализированной номенклатуре.

Вектор х распадается на вектор конечного продукта (с неотрицательными компонентами) и вектор суммарных затрат лимитированных ресурсов (с неположительными компонентами), включающий в данной постановке как народнохозяйственные, так и отраслевые ресурсы. Вектор Ъ включает ограничения по лимитированным ресурсам, фиксированным элементам конечного продукта (запасы, сальдо экспорта-импорта).

Использование этой модели как основы трехступенчатой оптимизации народного хозяйства рассматривается в ВСМ, с. 90 — 93.