Итеративные методы построения детализированного оптимального плана

15.2. Итеративные методы построения детализированного оптимального плана

Суть итеративных методов согласования решений в системе моделей состоит в проведении однотипных повторяемых этапов расчетов (итераций), на каждом из которых изменяется лишь часть информации, необходимой для построения оптимального народнохозяйственного плана. В типовой модели подсистемы (15.5) такими показателями являются входные параметры , в совокупности задающие вектор информации на очередной (l-й) итерации .

Вектор параметров согласования решений на следующей итерации вычисляется по результатам решений моделей подсистем , k = 1, …, m, которые, в свою очередь, определяются значениями входных показателей z^l . Следовательно, между z^lи z^l-1 существует зависимость

z^l+1 = P(z^l)

в соответствии с которой может быть определена последовательность промежуточных входных показателей z^l. Предельный вектор этой последовательности z^*, если он существует, принадлежит множеству неподвижных точек отображения Р(z* = P(z*)) и определяет стационарное решение задачи согласования. Действительно, очередное уточнение параметров согласования z*, P(z*) снова возвращает к z*, что, в свою очередь, обусловливает повторение решений задач подсистем.

В условиях устойчивых задач подсистем (т.е. когда малым изменениям входных данных соответствуют малые изменения их решений) используются приближенные оценки окончания процесса согласования . Процесс заканчивается, если на очередной итерации изменения параметров согласования не превосходят заданной точности расчетов 6.

Для того чтобы построить итеративный метод согласования решений, необходимо: 1) определить оператор Р, т.е. алгоритм итеративного пересчета параметров согласования; 2) доказать сходимость последовательности промежуточных решений, в частности последовательности ; 3) доказать оптимальность стационарной точки процесса. Наиболее трудной частью построения метода обычно является доказательство его сходимости.

Типичные утверждения формулируются следующим образом: если итеративный процесс сходится, то он сходится к согласованному решению. В случае когда выбранный алгоритм согласования не обеспечивает сходимости последовательности параметров согласования { z^l } , обычно переходят к модифицируемой последовательности  с членами, определяемыми соотношениями , где компоненты вектора  задают очередное приближение для входных параметров задач подсистем. Сходимость последовательности обеспечивается надлежащим выбором значений параметра управления процессом согласования .

Основные математические результаты системного моделирования на основе принципа декомпозиции получены для задач блочного программирования, к которым относятся модели (15.2) — (15.4) и (15.7). В 15.1 уже рассматривались свойства лимитных и ценностных методов блочного программирования. Более подробное их изложение дается в ВСМ, с. 69 — 76.

Достоинствами лимитных методов являются естественная структуризация координирующей и локальных задач, экономическая интерпретируемость процесса согласования решений. Вместе с тем эти методы имеют серьезные недостатки. Задачи подсистем сохраняют размерность (по ограничениям) исходной метамодели. Акцент делается на прямое регулирование взаимоотношений между подсистемами, что предполагает директивный характер управления.

Для линейных моделей алгоритм оптимального распределения лимитов впервые был предложен Я. Корнай и Т. Липтаком (см. ВСМ, с. 70 — 71). Вследствие линейности затрудняется проверка оптимальности распределения общих ресурсов между подсистемами, поскольку стационарная точка процесса согласования решений подсистем характеризуется неединственностью двойственных оценок хотя бы для одной подсистемы. Последнее затрудняет и содержательную интерпретацию этих оценок как показателей эффективности использования общесистемных ресурсов.

Среди ценностных методов согласования решений наиболее известен алгоритм Данцига — Вульфа для линейных моделей (см. ВСМ, с. 73 — 75). Основные особенности этого алгоритма состоят в следующем.

Оптимальный план подсистемы, соответствующий глобальному оптимуму, получается как композиция локально-оптимальных планов, рассчитанных при разных векторах ценностных показателей. По этой причине данный алгоритм не является примером ценностного подхода к согласованию в чистом виде. Последнее возможно при более сильных требованиях к структуре исходной задачи (строгая выпуклость множества производственных возможностей или строгая вогнутость целевых функций подсистем). Итеративный процесс является конечным, что объясняется конечным числом выделенных подсистем и структурой допустимых множеств локальных задач.

В стационарной точке процесса поиска глобального оптимума наблюдается неединственность оптимального плана функционирования хотя бы у одной подсистемы. Это означает, что окончательный выбор планов функционирования подсистем требует дополнения механизма использования ценностных показателей другими соображениями, позволяющими совместить локальные оптимумы с глобальными.

Рассмотренные примеры декомпозиционных алгоритмов относятся к методам вертикальной координации решений моделей подсистем. В алгоритмах горизонтальной координации модель "центра" необязательна. Увязка решений локальных подсистем может осуществляться прямым обменом корректирующей информацией между подсистемами одного уровня. Каждая подсистема предъявляет смежной подсистеме заявку на ее продукцию вместе с оценкой эффективности использования этой продукции и в свою очередь получает от нее объемы предполагаемых поставок и затраты на их производство.

Общая схема разложения задачи математического программирования на отдельные блоки и смешанный тип согласования локальных задач предложены Е.Г. Гольштейном. На каждом шаге локальной задачи уточняются параметры целевой функции и векторы ограничений и используются прогнозные значения переменных блоков и расчетных оценок. Функции "центра" состоят в последовательном уточнении управляющих параметров локальных задач на основе простых рекуррентных соотношений. Для всякой разрешимой исходной задачи метод гарантированно сходится.