Определение выражений напряжений конденсаторов в схеме RC-цепи второго порядка после одновременной коммутации трёх ключей

Классический анализ переходных процессов в RC-цепях

второго порядка

Задача 6.2

Решение.

Совместим начало отсчёта относительного времени t с моментом синхронной коммутации в цепи Рис. 6.1.

В качестве переменных состояния (независи­мых переменных) цепи после коммутации ключей (при t ³ 0) выберем напряжения конденсаторов u₁(t), u₂(t) и u₃(t). Для определения их начальных значений u₁(0–), u₂(0–) и u₃(0–) обратимся как обычно к схеме цепи накануне коммутации в стационарном состоянии (Рис. 6.2) (*). Однако, из этой схемы искомые значения трёх величин не могут быть вычислены однозначно, поскольку они ограничены единственным условием – вторым законом Кирхгофа:

u₁(0–) + u₂(0–) + u₃(0–) = U_o.

Начальные значения напряжений конденсаторов u₁(0–), u₂(0–) и u₃(0–) можно найти, анализируя результат коммутации в схеме цепи, приведшей к образованию цепи Рис. 6.2. Так, например, если три одинаковых незаряженных конденсатора C₁, C₂ и C₃, соединённые последовательно, подключаются к источнику постоянного напряжения U_o (Рис. 6.3), то каждый из них мгновенно зарядится до напряжения U_o/3. Именно этот вариант и рассматривается в дальнейшем.

Итак, положим начальные значения напряжений конденсаторов u₁(0–), u₂(0–) и u₃(0–) накануне коммутации в схеме цепи (Рис. 6.1) одинаковыми и равными

u₁(0–) = u₂(0–) = u₃(0–) = U_o/3 = 30 В.

Нетрудно показать, что выражения переменных состояния u₁(t), u₂(t) и u₃(t) цепи после коммутации (Рис. 6.4) (при t ³0) связаны однородной системой трёх линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

.

Интегрируя их в пределах от 0– до 0+, получаем соотношения между начальными u₁(0–), u₂(0–), u₃(0–) и стартовыми u₁(0+), u₂(0+), u₃(0+) значениями напряжений конденсаторов, выражающие второй закон коммутации:

u₁(0+) = u₁(0–) = 30 В,

u₂(0+) = u₂(0–) = 30 В,

u₃(0+) = u₃(0–) = 30 В.

Далее задача решается по известному алгоритму (см. например, решение предыдущей задачи 6.1).

Порядок системы уравнений для переменных состояния цепи после коммутации (Рис. 6.4) можно уменьшить на единицу (сократить до двух), если использовать присущее этой цепи особое свойство – симметрию относительно конденсатора C₂. Для большей наглядности на Рис. 6.5 изображена схема цепи, изоморфная рассматриваемой схеме (Рис. 6.4), в которой

R₄ = R₅,        C₁ = C₃

(это необходимые, но недостаточные условия) и не менее важные ограничения

u₁(0+) = u₃(0+).

На Рис. 6.6 показана схема цепи, эквивалентная предыдущей. Значения токов проводов aa¢ и bb¢, пересекающих ось симметрии, очевидно равны нулю, поэтому их можно заменить также разъёмами aa¢ и bb¢ (Рис. 6.7).

Таким образом, анализ переходного процесса в симметричной схеме цепи третьего порядка Рис. 6.4 благодаря одинаковым стартовым значениям напряжений конденсаторов C₁ и C₃ сводятся, по существу, к анализу переходного процесса в одной из двух одинаковых цепей второго порядка (Рис. 6.7).

Подобная задача решена в предыдущем примере (задача 6.1), поэтому здесь мы приведём лишь искомые выражения переменных состояния цепи Рис. 6.1 при t ³ 0 и их графики (Рис. 6.8):

 В;

 В;

 В.

Проверка:

При известном выражении напряжения конденсатора u₁(t) зависимость его тока i₁(t) от времени определяется динамической характеристикой конденсатора C₁:

 А.

Аналогичным образом найдём выражения токов i₂(t) и i₃(t) второго и третьего конденсаторов:

 А,

А.

Из анализа схем цепи после коммутации Рис. 6.4 или Рис. 6.5 следует

,

как и должно быть в соответствии с первым законом Кирхгофа.

D:\ОТЦиС\Упражнения\Тема_6c\Пример_2