Аналитическое решение системы двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка в среде MathCad

Приложение

Аналитическое решение системы двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка в среде MathCad

Найдём решение неоднородной системы двух линейных дифференциальных уравнений второго порядка, записанной в нормальной форме (форме Коши):

при нулевых начальных условиях

 и ,

в которой

.

Решение.

Интегрируя каждое уравнение этой системы в пределах от 0– до 0+, получаем стартовые значения x₁(0+) è x₂(0+) искомых функций:

x₁(0+) = x₁(0–) = 0,

x₂(0+) = x₂(0–) = 0.

При t ³ 0 функции x₁(t) è x₂(t) представим суммой принуждённых ,  и свободных ,  составляющих:

,

,

известных в математике как частное решение неоднородной системы уравнений и общее решение однородной системы уравнений соответственно.

Поскольку

,

где                          ,     а      w = 2000 рад/с,

то частное решение исходной системы уравнений ищем в такой же форме:

,

где                           и

комплексные амплитуды гармонических функций  и .

Подставляя эти предполагаемые выражения принуждённых составляющих искомых функций в исходную систему дифференциальных уравнений, сбрасывая операторы Re в правой и левой её частях и сокращая затем обе части уравнений на экспоненциальный множитель , получаем следующую систему алгебраических уравнений, определяющую значения комплексных амплитуд X_1m и X_2m гармонических функций  и :

.

Решим эту систему уравнений в среде MathCad.

Пусть            ,               w = 2000 рад/с,

Given

.

(Здесь левые и правые части уравнений связаны знаком эквивалентности – жирным знаком “равно” панели Boolean, вводимым клавишей “ = ” при нажатой клавише “ Ctrl ”).

        

                           рад

                            рад

                                                            

                                                                

                                                               

Найдём, далее, общее решение однородной системы уравнений

 .

В протоколе документа MathCad запишем матрицу А этой системы уравнений:

и вычислим вектор p её характеристических чисел:

                    .

Получим также матрицу V значений собственных векторов матрицы системы уравнений А:

                 

Следовательно, выражения свободных составляющих искомых функций могут быть записаны в таком виде

,

.

Значения постоянных интегрирования D₁ и D₂ находятся по стартовым значениям искомых функций x₁(0+) и x₂(0+).

Запишем выражения искомых функций при t ³ 0:

,

.

Отсюда, в частности, при t = 0 получаем

,

.

Первый способ определения значений постоянных интегрирования D₁ и D₂:

          .

Вычислим значения коэффициентов перед экспонентами  и  выражений искомых функций и их свободных составляющих

                                    

либо

            

                                     

Здесь “®” символ оператора векторизации – поэлементного перемножения элементов двух матриц; вводится клавишей “ – ” при нажатой клавише “ Ctrl ”.

Второй способ определения значений постоянных интегрирования

Given

      

Вычислим значения коэффициентов перед экспонентами  и  выражений искомых функций и их свободных составляющих

                                             

                                                 

Следовательно,

,

.

Внимание! Значения постоянных интегрирования можно также найти по стартовым значениям переменных состояния цепи x₁(0+), x₂0+) и их первых производных , .

В протоколе документа MathCad запишем матрицу А однородной системы двух линейных дифференциальных уравнений:

и вычислим вектор p её характеристических чисел:

                    .

Следовательно, выражения свободных составляющих искомых функций могут быть записаны в таком виде

,

.

Для вычисления значений постоянных интегрирования, например, C₁₁ и C₁₂ выражения свободной составляющей x_1св(t) воспользуемся стартовыми значениями этой функции x_1св(0+) и её первой производной .

Из принятого представления искомой функции x₁(t) при t ³ 0

при t = 0+ имеем:

,

Стартовое значение искомой функции x₁(t) было определено ранее: x₁(0+)  = 0. Стартовое значение её производной  определяется значением правой части первого уравнения исходной неоднородной системы двух линейных дифференциальных уравнений при t = 0+:

.

Следовательно

;

.

Таким образом, для вычисления значений постоянных интегрирования C₁₁ и C₁₂ имеем следующую систему алгебраических уравнений:

,

.

Решим её в программе MathCad.

Given

     .

Следовательно,

.

Таким же образом определяются значения постоянных интегрирования C₂₁ и C₂₂ выражения  свободной составляющей искомой функции .

В заключении решения этой задачи запишем окончательные выражения искомых функций при t ³ 0 в виде сумм их принуждённых и свободных составляющих

,

.

Проверка: Стартовые значения найденных функций x₁(t) и x₂(t)

x₁(0+) = 0,               x₂(0+) = 0,

как и должно быть в соответствии с условием этой задачи.

D:\ОТЦиС\Упражнения\Тема_6c\Примеры_6c\Пример 0