Расчет плоских ферм и арок. Расчетная схема фермы с принятой нумерацией узлов и стержней, страница 3

После заполнения глобальной матрицы |K| матрицами стержней (0) и (1) нами было получено выражение (14). Все действия, произведенные нами в тестовом примере № 1 для получения (14), справедливы и здесь. Продолжим заполнять глобальную матрицу жесткости фермы матрицей стержня (2).

Обращая внимание на поясняющие надписи к выражению (16) и пользуясь аналогией с предыдущим примером, запишем индексы заполнения блоков матрицы стержня (2)

При третьем сложении матрицы  с матрицей  стержня (2) получим

Полная система уравнений тестового примера №2, аналогичная (15)

.

С учетом внешних связей вычеркиваем строки и столбцы с номерами 0, 1 (две связи узла 0), 5 (связь узла 2 по вертикали вдоль оси 0Y).

Окончательная система уравнений выглядит как

.                           (17)

Решение: U₁ = 0.0007 см, V₁ = -0.0036 см, U₂ = 0.0014 см.

Перемещение по вертикали против оси 0Y среднего узла 1 в тестовом примере 2 (V₁ = -0.0036 см) увеличился по сравнению с примером 1 (V₁ = -0.0032 см) из-за появившегося горизонтального перемещения вдоль оси 0Х узла 2 (U₂ = 0.0014 см).

Координаты узлов 1 и 2 фермы после ее деформирования:

узел 1: x - 50.0007 см, y - 86.5989 см;

узел 2: x - 100.0014 см, y - 0 см.

 Здесь промежуточные результаты округлим, а величины усилий приведем точно. Первоначальная длина стержня (0) равна 100 см, новая длина - см. Угол отклонения от первоначального положения -  рад. Проекция новой длины - 99.9972 см. Деформация . Усилие в стержне (0) сжимающее  kH.

Первоначальная длина стержня (1) равна 100 см, новая длина - см. Угол отклонения от первоначального положения -  рад. Проекция новой длины - 99.9972 см. Деформация . Усилие в стержне (1) равно усилию в стержне (0)  kH.

Первоначальная длина стержня (2) равна 100 см, новая длина - 100.0014 см. Угол отклонения от первоначального положения -  рад. Проекция новой длины - 100.0014 см. Деформация . Усилие в стержне (2) растягивающее  = =14.015^.10^-6.2.06^.10^4.10=2.887 kH.

Попробуем к ферме этого примера (рис. 9) приложить в узел 1 внешнюю силу по оси 0Х величиной 10 kH (рис. 10).

Рис. 10. Расчетная схема фермы тестового примера № 2

с приложенной горизонтальной силой.

Тогда в окончательной системе уравнений (17) изменится матрица-столбец внешних усилий, и она будет выглядеть как

.

Решение: U₁ = 0.0116 см, V₁ = -0.0043 см, U₂ = 0.0038 см.

Перемещение узла 1 вдоль действия приложенной силы (по горизонтали по оси 0Х) увеличилось на 0.0116-0.0007=0.0109 см.

Первоначальная длина стержней (0), (1) и (2) равна 100 см.

Новая длина стержня (0) - 99.9999 см. Отклонение - 0.000122 рад. Проекция новой длины - 99.9999 см. Деформация - = 20.516^.10^-6. Усилие - N = 4.226 kH.

Новая длина стержня (1) - 99.9901 см. Отклонение - 0.000046 рад. Проекция новой длины - 99.9901 см. Деформация - = -76.570^.10^-6. Усилие - N = -15.773 kH.

Новая длина стержня (2) - 100.0038 см. Отклонение - 0 рад. Проекция новой длины - 100.0038 см. Деформация - = 38.286^.10^-6. Усилие - N = 7.887 kH.

После того как принципы расчета по МКЭ усвоены, перейдем к изучению кода программы расчета плоских ферм по МКЭ. При составлении программы основными принципами были простота и читаемость кода. Поэтому использованы и реализованы наиболее простые (но, по мнению авторов, необходимые в соответствии с провозглашенными принципами) понятия объектно-ориентированного программирования. Речь идет об использовании объектов собственных классов узла, стержня, внешней силы. В код программы включены подробные комментарии тех или иных действий. Все это должно сделать код программы понятным и для изучения, и для изменения Вами по собственному усмотрению в дальнейшем.

Алгоритм работы программы приведен ниже. Номера пунктов алгоритма продублированы в комментариях к коду главной функции main(), в связи с чем есть возможность проследить операции и их порядок какого-либо пункта.

Ввод исходных данных.

1. Создание объектов узлов (выделяется динамическая память).

2. Инициализация координат узлов.

3. Создание объектов стержней (выделяется динамическая память).

4. Инициализация номеров узлов стержней.

5. Инициализация характеристик стержней - площадей и модулей упругости.