Строительство и архитектура \ Строительные конструкции

Расчет плоских ферм и арок. Расчетная схема фермы с принятой нумерацией узлов и стержней, страница 2

0, 0

1, 0

0, 1

1, 1

Рис. 7. К заполнению глобальной матрицы жесткости. Блоки матрицы |k| стержня (0):

а) левый верхний; б) левый нижний; в) правый верхний; г) правый нижний.

Аналогичный подход применяется к определению местоположения блоков матриц отдельных стержней в глобальной матрице жесткости фермы для каждого стержня. Для стержня (1) индексы расстановки блоков матрицы |k| в глобальной матрице |K| будут

	1, 1	1, 2	.
	2, 1	2, 2

При первом сложении матрицы с матрицей стержня (0) с учетом правила расположения блоков матрицы жесткости отдельного стержня получим

При втором сложении матрицы с матрицей стержня (1) получим

Матрица-столбец неизвестных перемещений выглядит как последовательное перечисление перемещений вдоль осей 0Х и 0Y каждого узла фермы

Из внешних нагрузок в первом тестовом примере приложена только одна к узлу 1 против оси 0Y. По всем другим направлениям и в других узлах внешние силы равны нулю. Матрица-столбец внешних сил выглядит как последовательное перечисление сил вдоль осей 0Х и 0Y каждого узла фермы

Перепишем систему уравнений для определения перемещений узлов фермы в виде (1)

. (15)

Заметим, что перемещение вдоль оси 0Х узла 0 равно нулю, так как по этому направлению в этом узле установлена линейная связь. А это означает, что соответствующие строка (уравнение равновесия нулевого узла вдоль оси 0Х - нулевая строка в глобальной матрице жесткости, матрице неизвестных перемещений и матрице внешних сил) и столбец (коэффициенты уравнения равновесия нулевого узла вдоль оси 0Х - нулевой столбец в матрице жесткости) можно вычеркнуть. Этим мы и учтем рассматриваемую внешнюю связь, и сократим порядок решаемой системы уравнений, что приведет к экономии времени вычислений. По такому же принципу учтем наличие внешних связей вычеркиванием из СУ (15) вместе с нулевой строкой и столбцом еще строки и столбцы с номерами 1, 4, 5. Так как индексация принята с нуля, то строка 5 - последняя по номеру.

Окончательная система уравнений выглядит как

Решение этой системы уравнений: U₁ = 0, V₁ = -0.0032 см. Знак минус означает, что перемещение узла 1 произойдет вниз против оси 0Y.

При деформировании фермы координаты узла 1 изменились: координата x - 50 см, y - 86.5993 см.

При определении деформаций стержня будет пользоваться следующей последовательностью действий (соответствует расчету ферм по недеформированной схеме; подобный алгоритм определения деформаций используется в SCAD):

- по координатам узлов стержня после деформирования фермы определяем его новую длину (рис. 8)

l_k_новая= ,

где x_нч, y_нч - координаты начального узла (любой из двух) фермы после ее деформирования;

x_кн, y_кн - координаты конечного узла (отличный от начального) фермы после ее деформирования;

- определяем новый угол наклона стержня также по координатам его узлов

;

- определяем разность углов наклона по модулю нового положения стержня и первоначального (угол отклонения)

;

- находим проекцию новой длины стержня

;

- деформация стержня (отрицательная деформация - сжатие, положительная - растяжение)

Рис. 8. К определению деформаций стержня.

Первоначальная длина стержня (0) равна 100 см, а из решения прямоугольного треугольника новая длина - см. Угол отклонения от первоначального положения (до деформирования фермы) рад. Проекция новой длины - 99.9971971 см. Деформация . Усилие в стержне сжимающее kH. Такое же усилие по величине и по знаку возникает в стержне (1).

Тестовый пример №2.

Потренируемся еще, взяв исходные данные из примера № 1, добавив горизонтальный стержень (2) с теми же характеристиками (рис. 9) и убрав внешнюю связь в узле 2 по направлению оси 0Х (шарнирная ферма). Внешнюю нагрузку оставим без изменения.