Математика \ Математическая статистика

Точечные оценки неизвестных параметров. Интервальные оценки неизвестных параметров. Проверка статистических гипотез. Оценка ошибки выборки

Страницы работы

20 страниц (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Скачать файл

Уважаемые коллеги! Предлагаем вам разработку программного обеспечения под ключ.

Опытные программисты сделают для вас мобильное приложение, нейронную сеть, систему искусственного интеллекта, SaaS-сервис, производственную систему, внедрят или разработают ERP/CRM, запустят стартап.

Сферы - промышленность, ритейл, производственные компании, стартапы, финансы и другие направления.

Языки программирования: Java, PHP, Ruby, C++, .NET, Python, Go, Kotlin, Swift, React Native, Flutter и многие другие.

Всегда на связи. Соблюдаем сроки. Предложим адекватную конкурентную цену.

Заходите к нам на сайт и пишите, с удовольствием вам во всем поможем.

Фрагмент текста работы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИБСТРИН

Кафедра прикладной математики

Индивидуальное задание

по математической статистике

Выполнила: студентка 253 группы

Соломатина А.А.

Проверил: Соппа М.С.

Новосибирск, 2010г.

СОДЕРЖАНИЕ:

Введение………………………………………………………………………

1 Раздел Точечные оценки неизвестных параметров………………………

Задача…………………………………………………………………

Построить гистограмму……………………………………………

Задача…………………………………………………………………

Раздел 2 Интервальные оценки неизвестных параметров………………

2.1 Задача……………………………………………………………………

2.2 Задача…………………………………………………………………

2.3 Задача…………………………………………………………………

Раздел 3 Проверка статистических гипотез …………………………

3.1.1 Задача………………………………………………………………

3.1.2 Задача……………………………………………………………

3.2.1 Задача…………………………………………………………………

3.2.2 Задача……………………………………………………………

Раздел 4 Оценка ошибки выборки…………………………………………

4.1 Задача……………………………………………………………

Раздел 1. Точечные оценки неизвестных параметров

Математическая статистика — раздел математики, посвященный методам и правилам обработки и анализа статистических данных, т. е. сведений о числе объектов, обладающих определенными признаками, в какой-либо более или менее обширной совокупности. Сами методы и правила строятся безотносительно к тому, какие статистические данные обрабатываются (физические, экономические и др.), но обращение с ними требует обязательного понимания сущности явления, изучаемого с помощью этих правил.

Генеральная совокупность – совокупность результатов всех мыслимых наблюдений, проводимых в кажущихся неизменных условиях над одной из случайных величин X , связанных с данным видом объектов.

Статистический ряд распределения – таблица, в верхней строчке которой записываются все различные элементы выборки, а в нижней строчке – относительные частоты, соответствующие данным элементам.

Обычно в распоряжении имеются лишь данные выборки, например значения количественного признака х₁, х₂, …, х_n, полученные в результате n наблюдений. Через эти данные и выражается оцениваемый параметр. Рассматривая х₁, х₂, …, х_n как независимые случайные величины Х₁, Х₂, …, Х_n, можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения – это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и даёт приближённое значение оцениваемого параметра.

Оценкой неизвестного параметра Ѳ называется любая случайная величина Ѳ*, зависящая от (Х₁, Х₂,…, Х_n).

Выборочная средняя х_ср – это понятие математической статистики — один из основных параметров, характеризующих распределение как выборки, так и генеральной совокупности, это среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Выборочная дисперсия D_в – это среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения х_ср.

Задача 1.1.

Дана выборка Y:

3,63

4,52

2,12

3,78

4,62

1,91

4,12

3,85

2,65

2,72

5,79

2,93

4,67

4,72

5,54

3,13

3,16

2,03

2,72

3,49

4,38

4,54

3,42

3,45

2,63

4,79

4,70

4,23

5,08

4,17

6,06

4,36

5,52

5,22

6,89

1,42

2,97

5,58

5,70

3,75

6,64

3,62

5,39

3,79

5,67

5,18

3,11

2,42

4,94

5,10

Табл.1

Задание: Построить интервальный вариационный ряд, разбив выборку на 5 частей.

Решение: Для построения интервального вариационного ряда необходимо найти максимальное и минимальное значение выборки.

n=50

Y_max=6,64

Y_min=1,42

Находим величину интервала h, используя максимальное и минимальное значение выборки:

h= (Y_max- Y_min)/5,

h= (6,64-1,42)/5=1,044

Теперь строим интервальный вариационный ряд с указанием абсолютных и относительных частот.

Относительная частота – это есть вероятность попадания определённого значения в конкретный интервальный ряд.

Y	F	ω(Р)
1,42-2,464	5	0,1
2,464-3,508	12	0,24
3,508-4,552	13	0,26
4,552-5,596	14	0,28
5,596-6,64	6	0,12

Табл. 2

Границы интервальных рядов считаются по формулам: с_i=a + i*h, где i изменяется от 1 до 5.

Задача 1.2.

Построить гистограмму относительных частот, используя интервальный вариационный ряд. Сделать предположение о виде генеральной совокупности.

Решение

Используя данные табл.2, построим гистограмму относительных частот.

Для построения необходимо найти середины интервалов:

1) 1,42 + 0,522 = 1,942

2) 2,464 + 0,522 = 2,986

3) 3,508 + 0,522 = 4,03

4) 4,552 + 0,522 = 5,074

5) 5,596 + 0,522 = 6,118

Гистограмма относительных частот:

Вывод: По построенной гистограмме мы можем выдвинуть гипотезу о виде распределения генеральной совокупности. Генеральная совокупность распределена по закону близкому к нормальному закону.

Задача 1.3.

Найти двумя способами состоятельную и несмещённую оценку для Х_г.

Состоятельной и несмещённой оценкой Х_г является Х_в.

1-й способ:

Х_в= х_ср. Рассчитаем х_ср с помощью Excel. В результате этого получим х_ср=4,1364.

2-й способ

Вычисляем х_ср приближённо, используя интервальный вариационный ряд.

Для этого находим середины интервалов:

Середины интервалов:

[1,42; 2,464) – 1,942;

[2,464; 3,508) – 2, 986;

[3,508; 4,552) – 4,03;

[4,552; 5,596) – 5,074;

[5,596; 6,64] – 6,118.

Вычисляем по формуле:

х_ср≈ а₁*ω₁ + а₂*ω₂ +… +а_n*ω_n,

х_ср≈1,942*0,1+2,986*0,24+4,03*0,26+5,074*0,28+6,118*0,12≈4,1135

Задача 1.4

Найти двумя способами состоятельную и несмещённую оценку для дисперсий генеральной совокупности.

S²= n/(n-1)*D_B_.

S² найти двумя способами.

1-й способ

Найдём значение дисперсии точно, с помощью Excel.

D_B= 0,83057.

S²=50/49*0,83057=0,8475.

2-й способ

Найдём значение дисперсии приблизительно по следующей формуле:

D_B≈ а₁²*ω₁ + а₂²*ω₂ +… +а_n²*ω_n,

S²≈50/49*0,913≈0,932.

D_B≈(0,1)²*1,942+(0,24)²*2,986+(0,26)²*4,03+(0,28)²*5,074+(0,12)²*6,118 ≈ 0,0192+0,1799+0,2724+0,3978+0,0881 ≈ 0,9574.

S²≈50/49*0,9574≈0,9769.

Задача 1.5

Построить корреляционную таблицу

Y Х	[1,42-2,464)	[2,464-3,508)	[3,508-4,552)	[4,552-5,596)	[5,596-6,64]
[2,18;3,07)	0,04	0,02	0	0	0,02
[3,07;3,96)	0,04	0,08	0,1	0,1	0,06
[3,96;4,85)	0	0,08	0,08	0,12	0,02
[4,85;5,74)	0,02	0,02	0,08	0,06	0,02
[5,74;6,63]	0	0,04	0	0	0

Задача 1.6

Оценить коэффициент корреляции двумя способами: Excel и с помощью корреляционной таблицы. Выдвинуть гипотезу о существовании корреляционной связи между Х и Y.

1 способ

Рассчитываем коэффициент корреляции в Excel: r_в=0,2306.

2 способ

Рассчитываем коэффициент корреляции, пользуясь корреляционной таблицей, по следующей формуле:

r_в≈( x*y – x_ср*y_ср)/*,