Изучение термоэлектрических явлений при контакте металлов (лабораторная работа), страница 5

                       а)                                                                                         б)

Рис 1.

Если  электронный газ называется вырожденным и обладает квантовыми свойствами. Уровень Ферми отделяет заполненные электронами уровни от незаполненных. Функция распределения имеет вид прямоугольной ступеньки для   (рис. 1а), при   прямоугольная ступенька размывается. Если , распределение проходит через значение ; при этом небольшая доля электронов, находящихся вблизи уровня Ферми в энергетическом слое , могут изменить согласно принципу Паули свою энергию и занять уровни выше уровня Ферми. При нормальных температурах  число таких электронов . Теплоемкость вырожденного электронного газа близка к нулю:

Если , электронный газ называется невырожденным. Его распределение (6) преобразуется к виду:

Это распределение было получено в рамках классической физики и носит название распределения Больцмана. Электронный газ в металле вплоть до  К остается вырожденным и описывается квантовой статистикой Ферми-Дирака. Невырожденным электронный газ является в полупроводниках, у которых его концентрация nмала, вследствие чего он описывается классической статистикой Максвелла-Больцмана.

         Распределение Ферми-Дирака позволяет найти среднее число электронов в элементарной фазовой ячейке. Задача сводится к определению числа фермионов, имеющих энергии от значения  до . Для этого следует найти число состояний, которыми обладает фермион в заданном интервале энергий , , принимая для расчетов формулу (4).

         Таким образом, число частиц содержащихся в объеме  определится после интегрирования по энергии выражения:

Это соотношение можно использовать для нахождения энергии Ферми  как функции температуры  и концентрации () электронного газа в металле.

В частном случае когда  (Рис. 1а)  интеграл легко берется в пределах энергии от  до  , что позволяет определить химический потенциал  и энергию  Ферми при  в виде:

                                    (8)

Под  понимают значение эффективной массы электрона в металле.

         Энергию Ферми (потенциал ) при произвольной температуре  можно получить из приближенного выражения:

                           (9)