Изучение термоэлектрических явлений при контакте металлов (лабораторная работа), страница 2

,

где  - элемент фазового пространства, равный произведению дифференциалов координат и проекций импульсов всех частиц системы.

В фазовом пространстве состояние подсистемы задается точкой, которая с течением времени перемещается по фазовой кривой. Согласно теореме Лиувиля форма элемента объема  с течением времени изменяется, но ее величина остается постоянной, поэтому плотность, с которой распределены по фазовому объему точки фазового пространства, изображающие различные микросостояния, является мерой вероятности обнаружения точки в элементе фазового пространства .

         В отличие от классической в квантовой механике существует ограничение на минимальный объем элемента фазового пространства, определяемое из соотношения неопределенности Гейзенберга:    Перемножив, правые и левые части неравенств, получим, что

 для шестимерного фазового пространства, и  для -мерного пространства. Таким образом фазовое пространство квантуется, причем минимальный объем фазовой ячейки  равен

         Число элементарных ячеек  в фазовом объеме  для шестимерного пространства определяется по формуле:

.                                                                   (1)

Фазовый объем для независимых движущихся частиц, соответствующий интервалу величин импульсов от  до  в пространстве импульсов  определится как объем шарового слоя, заключенного между сферами радиуса от  до . Его величина может быть найдена путем интегрирования по формуле:  и окажется равной:

 .                                          (2)

 Число элементарных фазовых ячеек согласно равенствам (1) и (2) определится как

.                                                          (3)

         Чтобы определить фазовый объем, соответствующий интервалу энергий частиц от  до , учтем связь между энергией  свободной частицы с импульсом . , следовательно, . Подставив полученные значения  и  в формулу (3), найдем исходную зависимость:

                                                                            (4)

характеризующую число состояний (плотность) , которыми частица обладает в заданном интервале энергий , , т.е. число элементарных ячеек в заданном фазовом пространстве.