Временная стоимость денег в условиях разовых платежей. Оптимизация инвестиционного портфеля

Билет №8

1. Временная стоимость денег в условиях разовых платежей

  Мерой, позволяющей соотносить между собой стоимости денег в разные моменты времени, являются процент и процентная ставка.

Процентом в общем случае называют абсолютную величину дохо­да, выраженную в денежных единицах, от какой-либо финансовой операции. Если в финансовую операцию в ее начале была вложена (инвестирована) сумма S₀, а по ее завершении получена сумма S₁, то величина процента составит:

R = S₁ — S₀.

Процент, рассчитанный в виде относительной величины r, назы­вается процентной ставкой:

     r =      R      * 100

 S₀

Схема простых процентов

Простой процент рассчитывается исходя из предположения, что на уже накопленный ранее процент не начисляются новые проценты, т.е. мы должны использовать одну и ту же (основную) денежную сумму S₀

На конец указанного срока сумма S₁ составит:

S_t=S₀+(S₀*r)*t= S₀ (1+rt)

Если необходимо определить какую сумму S₀ необходимо инвестировать, чтобы спустя время t получить наращенное значение S_t                                                              S_t

                                                                                         S₀=

                                                                                                    (1+rt)

Величина S₀ в этом случае называется текущим (приведенным, настоящим) значением суммы S_t , Текущая стоимость позволяет при­вести денежные потоки к одному и тому же моменту времени и срав­нить их по текущей (сегодняшней) стоимости.

Дисконт и учетная ставка (d). В ряде случаев проценты представля­ют собой скидку с некоторой конечной суммы, принимаемой за 100 %. Тогда  

S_t=  S₀ (1- dt)

Учетная ставка  эквива­лентна процентной ставке. Различие между ними заключается в «направлении» схемы расчета и выбора временной базы, т. е. време­ни, относительно которого вычисляется эффект финансовой опера­ции. Для процентной ставки это начало периода, а для учетной — ко­нец.

Схема сложных процентов

Сложная процентная ставка — это такая ставка, при которой процент начисляется на постоянно нарастающую базу с учетом процентов, начисленных в предыдущие периоды

S_t= S₀ (1+r)^t

Будущая стоимость и частота капитализации. Чем чаще проценты капитализируются, тем быст­рее растет стоимость соответствующего актива.  Будущая стоимость  через t лет при инвестировании PV  по ставке r процентов в год рассчитывается следующим образом:

                                                                                                               m

FV = PV   1+    r

                         m

Эффективная (фактическая) процентная ставка. r_эфф — это совокупно начисленная за год процентная ставка, которая эквивалентна годо­вой процентной ставке при капитализации чаще, чем один раз в год. Таким обра­зом, для того чтобы найти эффективную ставку процента, необходи­мо решить уравнение                             

                                                              (1+ r_эфф)^t =    1+  r      tm

                                                                                        m

Эффективная процентная ставка часто используется для сравне­ния инвестиционных альтернатив при разных процентных ставках и периодах капитализации.

Определение неизвестной процентной ставки. В некоторых финан­совых расчетах инвесторы   сталки­ваются с необходимостью определения неизвестной процентной ставки, связывающей конкретные значения настоящей (приведен­ной) и будущей стоимости при известном сроке.                                                                                                                                                                                                                        

                                                                                                    FV     1/t

                                                                                    r   =          PV       - 1

 Определение неизвестного числа периодов. Иногда финансовым менеджерам требуется определить, какое время понадобится для того, чтобы инвестированная в конкретный проект сумма достигла при известной процентной ставке определенного (заданного) разме­ра.

            FV

                                                                        t       =       ln    PV

      ln (1+r)

Для приблизительного расчета количества дискретов (периодов) иремени, требуемых для удвоения инвестиций, можно воспользо­ваться известным «правилом 72», дающим очень хорошее приближе­ние. Искомая величина здесь может быть рассчитана делением «72» на ставку процента, задаваемую в процентах.

2. Оптимизация инвестиционного портфеля

Проблема рационирования капитала возникает всегда, когда средства компании лимитированы , и при этом она не может (или не хочет) привлекать дополнительные средства для реализации своих инвестиционных проектов. В связи с подобными бюджетными ограничениями не все инве­стиционные проекты, удовлетворяющие критериям NPV и IRR, могут быть безоговорочно приняты. Отбор проектов в инвестиционный портфель связан в этом случае с процедурой оптимизации бюджета капитальных вложений. Вопрос в таком случае состоит в том, как оптимально распределить имеющийся в ограниченном объеме капитал между альтерна­тивными инвестиционными решениями. Эту проблему можно перевести в область задач математического программирования.

Пример: Предположим, что создается небольшая компания, бизнес кото­рой состоит в сдаче в аренду другим компаниям легковых и грузовых автомобилей. Владелец компании предположил, что его бизнес будет осуществляться им три года, что все договоры на аренду продлятся именно такой срок и будут заключены сразу после создания компа­нии. Известно, что чистый дисконтированный денежный поток для каждого легкового и грузового автомобиля составит соответственно 200 и 500 USD. Все автомобили будут приобретены в начале первого года функционирования фирмы по ценам 400 и 300 USD за грузовой и легковой автомобили соответственно. Последовательность выплат за приобретаемые автомобили тако­ва: в конце первого года за каждую легковую автомашину должна быть внесена плата в 200 USD, за грузовую — 100 USD; в конце вто­рого года должен быть осуществлен окончательный расчет за поку­паемую технику (100 и 300 USD соответственно).По оценке владельца компании доступные ему денежные средст­ва будут составлять 40 000 USD в первый год и 30 000 USD — во вто­рой. Какое число легковых и грузовых автомобилей владелец фирмы должен приобрести для того, чтобы максимизировать чистую приве­денную стоимость от данной инвестиции? Решение: Обозначив через х₁ и х₂ соответственно искомое количество легковых и грузовых автома­шин, экономико-математическую модель максимизации чистой приведенной стоимости можно записать следующим образом:

        f_x = (200 х₁ + 500 х₂) → max

200 х₁ +100 х₂, ≤ 40000

100 х₁ +300 х₂ ≤ 30000

х_1. х₂≥  0.

Решение формализованной модели при помощи аппарата линей­ного программирования дает оптимальное решение: х₁ = 180, х₂ = 40

Так же при помощи этой  модели можно выбрать какие проекты компания должна отобрать в инвестиционный портфель если целью компании является максимизация суммарного объема приведенной стоимости.