Основы дифференциального исчисления. Нахождение производных функций. Графики функций (Практическое занятие № 1), страница 2

Производной функции f(x) называется предел отношения прира-щения функции Δу к приращению аргумента Δх в точке х при стремлении Δх к нулю:

                   ý=lim (Δy /Δx) 

                       Δx →0

                        Производные некоторых функций :

у=С:

ý= 0;

y=x

ý=1

у = хμ:

ý=μxμ-1

у = аx:

у = ех                 то

ý=axlna;

ý= еx;

y=logax

у = lпх

ý=( logae)/x=1/(x lna)

ý=1/x

y=sinx

y=cos x

y = tgx.

y = ctgx.

y'=cosx;

ý = — sin x;

ý =1/cos2x

ý =-1/sin2x

y=arcsinx

y=arccosx

y=arctgx

y=arcctgx

ý =1/(1-x2)1/2

ý =-1/(1-x2)1/2

ý =1/(1+x2)

ý =-1/(1+x2)

y = v±u:

y' = u'±v'

y=uv

y' = u'v + v'u.

y=u/v:

y' =( u'v- v'u)/ v2

y = f1(u), если u = f2(x),

у'x = у'uu'x

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ЕЁ МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ.

          Приращение аргумента и функции. Пусть функция у=f(x) определена на некотором интервале, х0 и х – два произвольных значения аргумента из этого интервала. Разность между двумя значениями аргумента называется приращением аргумента: х – х0 = , откуда х = х0 + , то есть значение аргумента х можно определить через х0 и его же приращение .

          Разность между двумя значениями функции называется приращением функции: Dу = Df = f(x0 +Dx) – f(x0).

          Как видно из рис.1, приращение аргумента изображается приращением абсциссы точки графика функции у = f(x), а приращение функции Df – приращение ординаты этой точки.

         

Рис.1

 
 


Вычисление приращения любой функции у = f(x) удобно проводить по следующей схеме:

1)  даем аргументу х приращение и получаем точку х + ;

2)  находим значение функции в точке х + Dх: f(x + Dx);

3)  находим приращение функции: Df = f(x + Dx) – f(x).

Понятие непрерывности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если:

1)  функция определена в точке х0 и в некоторой окрестности, содержащей эту точку;

2)  предел приращения функции равен нулю при стремлении приращения аргумента к нулю, то есть

                         

Определение производной. Задача нахождения скорости процессов привела к введению в математику понятия производной функции.

Пусть дана функция f(x), определенная на некотором интервале ]a, b[ и непрерывная на нем. Дадим аргументу  приращение , тогда функция получит приращение Df:                  

     Отношение

                                            
является функцией от и выражает среднюю скорость изменения функции f(x) относительно аргумента х на интервале ]х, х+[.

          Предел отношения Df/Dx приращения функции Df  к приращению аргумента , когда стремится к нулю, при условии, что этот предел существует, называется производной функции f(x) в точке .

          Таким образом, можно сделать следующий вывод: производная функции y = f(x):

                                                          

В этом и состоит физический (в том числе механический) смысл производной.

          Процесс нахождения производной называется дифференцированием, поэтому выражение «продифференцировать функцию» равносильно выражению «найти производную функции».

           ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ.

 По уравнению непрерывной линии у = f(x) найдем угловой коэффициент касательной к ней в данной точке М(х; f(x)), предполагая, что касательная существует.

          Функция y = f(x) в прямоугольной системе координат изображается кривой (рис.2). Возьмем на кривой точку М(х; f(x)) и дадим аргументу х приращение . По значению аргумента х+получаем новое значение функции f(x + Dx), соответствующее точке М¢(х +Dх; f(х + Dх)) на кривой. Проведем секущую ММ¢ и обозначим угол наклона секущей к оси Ох через a. Из рисунка следует, что Df/Dx=tga. При ® 0 точка М¢ перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке М. Секущая ММ¢ поворачивается вокруг точки М, и величина угла a изменяется. При приближении секущей ММ¢ к касательной МТ угол a приближается к углу j  и

       

Угловой коэффициент касательной