Дослідження збіжностей числового і степеневого ряду. Обчислення з точністю до 0,001 визначеного інтегралу

Завдання 1.

Дано:

Дослідити збіжність числового ряду:

а) знакосталого – ;          б) знакозмінного – .

Для знакозмінного ряду, якщо він збігається, визначити, яка збіжність має місце – абсолютна чи умовна.

Решение:

а) знакосталого –;  ;  сравниваем данный ряд с гармоническим, расходящимся радом ;   ;  так как 2 > 0 значит ряд расходящийся.

            б) знакозмінного – ; ; по условиям теоремы Лейбница данный рад сходящийся:

;

Сравним этот ряд с сходящимся рядом ; ; так как 1 > 0 значит ряд из абсолютных членов сходящийся, а значит знакопеременный ряд – абсолютно сходящийся.

Завдання 2.

Дано:

Визначити область збіжності степеневого ряду.

.

Решение:

;  =>;

Ряд сходится на интервале:;

Проверим ряд на сходимость на концах интервала;

При x=–8 ряд имеет вид:;

Знакопеременный ряд является сходящимся, так как выполняет условия теоремы Лейбница:

При x=8 ряд имеет вид:; Сравним полученный ряд с сходящимся рядом

ряд является сходящимся, так как степень знаменателя больше чем 1;

 отсюда следует то что ряд  сходящийся следовательно, следовательно степенной ряд сходится на интервале:

Завдання 3.

Дано:

 Обчислити з точністю до 0,001 визначений інтеграл, заклавши підінтегральну функцію в степеневий ряд і потім про інтегрувавши його почленно.

Визначений інтеграл:

Решение:

Разлагаем функцию по формуле: ;

Завдання 4.

Дано:

Розвинути в ряд Фур’є функцію , задану графіком.

Решение:

Продлим функцию чётным образом

; ;

=>

=>;

.