Елементи лінійної та векторної алгебри. Аналітична геометрія (Теоретичні питання та відповіді)

если тогда их отнести к одному началу, то они все будут лежать в одной плоскости (Р). Если а || b, то представление с в виде линейной комбинации а и b показано на (рис.149) оно называется разложением вектора в плоскости по двум непараллельным векторам. Если же а || b, то согласно предыдущему абзацу уже из двух векторов a, b один (например, а) линейно выра­жается через другой (b), т.е. а выражается через b и с.

Четыре или более векторов всегда линейно зависимы. Действи­тельно, пусть даны четыре вектора а, b, с, d; отнесем их к одному началу. Если после этого векторы а, b, с окажутся лежащими в одной плоскости, то по предыдущему абзацу один из них линейно выра­жается через остальные и т.д. (как в конце предыдущего абзаца). Пусть теперь а, b, с не лежат в одной плоскости (рис. 150). Тогда проводим через точку D(ко­нец вектора d) прямую, парал­лельную вектору с до пересе­чения с плоскостью векторов а и b в точке С; затем через С проводим прямую, параллельную вектору b, до пересечения с прямой, на которой лежит вектор а, в точке В. Тогда

d ==а +b + c.    (1)

Это представление называется разложением вектора по трем векторам, не параллельным одной плоскости; оно же называется разло­жением вектора по трем осям (на рис. 150 по осям ii, mmи пп). Такое разложение часто применяется в теоретической механике и в других дисциплинах при разложении силы по трем направлениям и т.п. Каждое из слагаемых а,b и c называется составляющей или, что то же, компонентой вектора d по (вдоль) соответствую­щей оси. Компонента вдоль каждой оси определяется не только направлением этой оси, но и направлениями остальных осей. Однако от ориентации осей, т.е. от указания на них положительного на­правления компоненты не зависят.

Иногда применяется разложение вектора по оси и не параллельной ей плоскости. Это разложение показано на рис.  151.

Разложение (1) возможно осуществить лишь единственным образом. В самом деле, если бы наряду с (1) существовало другое разло­жение d= ₁а +₁ b + ₁ c , приравнивая правые части, мы по­лучим (–₁)­а + (–₁) b + (–₁)c = 0, откуда вытекает линей­ная зависимость векторов а, b, с (почему?). Если дано более четы­рех векторов, то уже из первых четырех векторов один линейно выражается через все остальные, т.е. векторы   линейно зависимы.

Питання

3. Базис на площині і у просторі.

Відповідь

Совокупность линейно независимых векторов, по которым производится разложение остальных векторов, называется базисом. В плоскости базисом могут служить любые два непараллельных вектора, а в пространстве – любые три вектора, не параллельных одной плоскости.

Питання

4. Проекція вектора на вісь. Властивості проекцій.

Відповідь

Выражение «проекция вектора на ось ОХ» упо­требляется в двух разных смыслах: геометрическом и алгебраическом (арифметическом).

            1. Проекцией (геометрической) векторана ось ОХ называется вектор  (черт. 135), начало которого А' есть проекция начала А на ось ОХ, а конец В' – проекция конца В на ту же ось.

            Обозначение:            Пр_oxили, короче, Пр .

            Если ось ОХ задана вектором с, то вектор называется также проекцией   вектора на направление вектора с и обозначается Пр_c.

            Геометрическая проекция вектора на ось ОХ называется также компонентой вектора по оси ОХ.

2. Проекцией (алгебраической)  вектора на ось ОХ (или на направление вектора с)  называется длина векторавзятая со знаком + или –, смотря по тому, имеет

ли векторто же направление, что ось ОХ (вектор с), или противоположное.   Обозначение:  пр_oxили пр_c.

Замечание. Геометрическая проекция (компонента) вектора есть вектор, а алгебраическая проекция вектора есть число.

            Пример 1. Геометрическая проекция вектора =а (черт.136) на ось ОХ есть вектор . Его направ­ление противоположно направлению оси, а длина (при единице масштаба ОЕ) равна 2. Значит, алгебраическая проекция вектораа ось ОХ есть отрицательное число   —2; Пр =,    пр = —2.

            Если   векторыи  (черт.137) равны, то их алгебраические проекции по одной и той же оси тоже равны (пр = пр = ). То же для геометрических проекций.

                                

            Алгебраические проекции одного и того же вектора на две разнонаправленные оси (О₁Х₁ и О₂Х₂ на (черт.138) равны (Если оси параллельны, но противоположно направлены, то алгебраические проекции не равны; они отличаются знаком