Частотный критерий устойчивости В.М.Попова

Частотный критерий устойчивости В.М. Попова.

Критерий Попова (ударение на первом «о», так как Попов – болгарин) даёт достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейной системы по виду частотной характеристики линейной части системы.

Пусть в системе имеется одна однозначная нелинейность. Рассмотрим случай расположения нелинейности в секторе []:

Линейная часть системы описывается уравнением:

.

Пусть степень полинома  больше степени полинома  и пусть передаточная функция линейной части  имеет полюсы с отрицательными вещественными частями и не более двух нулевых полюсов.

Теорема Попова.

Состояние равновесия нелинейной системы будет абсолютно устойчивым, если нелинейная характеристика находится в секторе [] и существует такое действительное число h, что при всех  выполняется неравенство

.

Введём модифицированную частотную характеристику линейной части:

, где , а .

Выражение из формулировки теоремы Попова можно записать в виде

 или .

Выражение  представляет собой уравнение прямой, проходящей через точку  на оси  с наклоном . Отсюда имеем следующую формулировку критерия Попова:

Состояние равновесия нелинейной системы абсолютно устойчиво, если нелинейная характеристика находится в секторе [] и можно провести через точку  прямую так, что она не пересечёт модифицированную частотную характеристику. Слева на рисунке показан случай устойчивой системы, а справа – неустойчивой.

Рассмотрим случай расположения нелинейности в секторе [].

Теперь неравенство в теореме Попова приобретает вид:

.

Происхождение этого соотношения поясняется эквивалентным преобразованием структурной схемы системы:

Преобразование этого выражения даёт:

.

На плоскости координат модифицированной частотной характеристики уравнение

описывает параболу, проходящую через точки  и , и имеющую в этих точках крутизну наклона касательных  и , соответственно.

Формулировка критерия:

Состояние равновесия нелинейной системы будет абсолютно устойчиво, если нелинейная характеристика находится в секторе [] и можно провести через точки  и  такую параболу с вертикальной осью, чтобы модифицированная частотная характеристика линейной части лежала вне этой параболы.

Видно, что здесь нельзя провести прямую через точку .