Свойства потенциальных полей. Соленоидальное векторное поле

          Свойства потенциальных полей.

1) в области непрерывности потенциала поля u линейный интеграл не зависит от пути интегрирования и равняется приращению потенциала

                                               (2.3)

2) циркуляция (1.9) вектора  по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в области непрерывности поля, равна нулю:

                                                            .                                         (2.4)

3) потенциал  находится по формуле (2.3):

                                                       ,                                       (2.5)

где (AM) – произвольная кривая, стягивающая точки A и M. Если путь (AM) взять в виде ломаной, состоящей из отрезков, параллельных осям координат (количество таких ломаных равно шести), то для нахождения потенциала может быть применена одна из формул, выражающая потенциал  через определенные интегралы ; ):

                    .              (2.6)

          Пример. Проверить, что поле вектора  является потенциальным и найти его потенциал.

          Решение. Составим для данного поля критерий потенциальности (2.2):

- поле потенциально. Найдем потенциал  по формуле (2.6): за начальную точку удобно взять точку A(0,0,0):  .

15.2.2. Соленоидальное векторное поле

Определение. Векторное поле  называется соленоидальным (трубчатым) полем, если дивергенция его равна нулю:

                                                                                      (2.7)

(то есть это поле без источников и стоков). Из теоремы (1.11) следует, что в соленоидальном поле поток

                                                                                                    (2.8)

через любую замкнутую поверхность, лежащую в этом поле.

          Пример. Какие из нижеследующих полей являются соленоидальными (в  естественной области определения):

1) ;

2) ?

          Решение. 1) вычислим критерий (2.7): - - поле вектора   соленоидально; 2)  - поле не соленоидально.

15.2.3. Дифференциальные операции второго порядка.

Лапласово (гармоническое) векторное поле

          Дифференциальные операции второго порядка – это повторно примененные операции grad, div и rot к скалярным и векторным полям, полученным в результате применения этих же операций к скалярным  и векторным  полям. Возможны лишь следующие повторные операции:  ;  ,
где  -лапласиан; ; ;  .

Операции первого и второго порядков удобно записывать (и вычислять, доказывать) с помощью специального символического оператора  (читается “набла”):

                                                    .                                         (2.9)

Для дифференциальных операций первого порядка имеем

                                     ;     .                       (2.10)

Операции второго порядка:

;

;

;

;

.

При применении оператора “набла” руководствуются следующим правилом: при применении оператора  к произведениям скалярных  , ) и векторных ,  полей:  можно поступать так: применить оператор  к каждому из сомножителей отдельно, считая другой постоянным (их обозначаем ), и результаты сложить; затем каждоеслагаемое преобразовать по правилам векторной алгебра так, чтобы оператор  стоял на предпоследнем месте перед переменным множителем.

Пример. Показать, что .

          Решение. В символической форме записи . Учитывая сначала дифференциальный характер , мы должны написать . Рассматривая выражение  мы можем постоянный множитель  вынести за знак “набла” и, как скаляр, за знак скалярного
произведения, что дает  (на последнем шаге мы опустили индекс “c”).

          В выражении  оператор  действует только на скалярную функцию u; поэтому мы можем написать, что . В результате получаем формулу  или .