Релятивистские поправки к уровням энергии (Раздел 1.3. учебного пособия)

1.3. Релятивистские поправки к уровням энергии

Учет релятивистского электромагнитного взаимодействия мы начнем с анализа тонкой структуры атома водорода.

В [4] проведено подробное изучение релятивистских эффектов и показано, что для водорода поправка к гамильтониану порядка  может быть представлена в виде:

.                      (22)

Первое слагаемое в (22) есть следствие релятивистской зависимости кинетической энергии от импульса, то есть разложения разности ; второе слагаемое — энергия взаимодействия двигающегося магнитного момента с электрическим полем (спин-орбитальное взаимодействие). Последнее слагаемое отлично от нуля в точках нахождения зарядов, создающих внешнее поле.

Если электрическое поле центрально-симметрично, то

,                                            (23)

и спин-орбитальное взаимодействие можно представить в виде:

,                                      (24)

где  — оператор орбитального момента атома и U = eФ — потенциальная энергия.

Для атома водорода с зарядом ядра Z поправки к энергии можно вычислить, используя теорию возмущений  и принимая во внимание, что поле ядра . Усреднение гамильтониана необходимо проводить по нерелятивистским волновым функциям. Среднее значение оператора  можно найти, воспользовавшись соотношением:

,

где  - энергия невозмущенного уровня.

Таким образом, задача сводится к расчету средних значений величин  (где k = -1; -2; -3), который проведен в [1, §36]. Окончательно получим, что учет только релятивистской зависимости энергии приводит к добавке:

,                                    (25)

где  — постоянная Ридберга,  — постоянная тонкой структуры.

Спин-орбитальное взаимодействие вносит добавку энергии

.                     (26)

Здесь использовано

.

Полная энергия уровня получится, если к значению нулевого приближения (7) добавить поправки  Учитывая, что S = 1/2 и L = J ± 1/2, независимо от знака энергия уровня равна

                       (27)

Напомним, что в нулевом приближении (7) имеет место как вырождение энергетических состояний по направлениям спина, так и кулоновское вырождение по L. Спин-орбитальное взаимодействие снимает это вырождение, но не полностью — остаются двукратно взаимно-вырожденные уровни с одинаковыми n и J, но разными  Уровень с главным квантовым числом n расщепляется на n компонент тонкой структуры.

Необходимо отметить, что в случае атома водорода вырождение по L снимается так называемыми радиационными поправками (лембовский сдвиг), не учитываемыми уравнением Дирака [4]. В случае многоэлектронных атомов, как мы видели в разделах 1.1 и 1.2, вырождение по L снимается гораздо более сильным электростатическим взаимодействием между электронами.

Таким образом, последовательность водородных уровней с учетом тонкой структуры такова:

Подчеркнуты термы, вырождение которых снимает лембовский сдвиг. Схема энергетических уровней Н, демонстрирующая тонкую структуру приведена на рис. 3.

Полумодельно учет спин-орбитального взаимодействия может быть продемонстрирован следующим образом.

Электрон, движущийся в поле ядра, испытывает действие магнитного поля

,                                              (28)

где  — электрическое поле ядра. Учитывая, что  — орбитальный момент, формулу (28) перепишем в виде:

 .                                           (29)

Добавочная энергия, которую приобретает электрон с моментом  в поле , равна

,                                   (30)

где , .

Таким образом, получим:

                                                 (31)

Как показано в [4], учет релятивистских эффектов изменяет эту величину в 2 раза. Необходимо также для  вычислить среднее значение, то есть:

.

Используя радиальные волновые функции водородоподобного атома, легко показать[1], что

,                                (32)

где .

Таким образом, (31) можно представить в виде:

.                        (33)

Учитывая, что , получим  или

.

Подставляя значение  в (33) найдем добавку энергии

,

совпадающую с точным расчетом (26).

В действительности, в сложных атомах релятивистские члены в гамильтониане распадаются на две категории — одни из них линейны относительно операторов спинов электронов, а другие квадратичны. Первые соответствуют орбитальному взаимодействию, вторые отвечают взаимодействию между спинами. Все они имеют одинаковый порядок по V/с.

Для взаимодействия спинов электронов в атоме имеем [3]

                         (34)

Фактически, однако, в сложных атомах взаимодействия спин — орбита значительно превышает взаимодействие спин — спин. Дело в том, что энергия спин-орбитального взаимодействия, как видно из (27), отличается от основной энергии множителем . Этот коэффициент быстро растет с увеличением атомного номера и в тяжелых атомах становится порядка единицы. Коэффициент, определяющий поправку к энергии, обусловленную спин-спиновым взаимодействием, не зависит от Z и его влиянием на энергию уровня можно пренебречь.

Для атома с числом электронов N энергия спин-орбитального взаимодействия равна

,                                        (35)